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如圖,平面直角坐標系中,直線AB軸,軸分別交于A(3,0),B(0,)兩點, ,點C為線段AB上的一動點,過點CCD軸于點D.

(1)求直線AB的解析式;

(2)若S梯形OBCD,求點C的坐標;

(3)在第一象限內是否存在點P,使得以P,O,B為頂點的

三角形與△OBA相似.若存在,請求出所有符合條件

的點P的坐標;若不存在,請說明理由.(做出一種答案即可)

(1)直線AB解析式為:y=x+.                           

(2)方法一:設點C坐標為(x,x+),那么OD=x,CD=x+.  

.            

由題意:,解得(舍去)     

∴ C(2,)                     

方法二:∵ ,,∴

由OA=OB,得∠BAO=30°,AD=CD.

∴ CD×AD=.可得CD=.  

∴ AD=1,OD=2.∴C(2,).           

(3)當∠OBP=Rt∠時,如圖

      ①若△BOP∽△OBA,則∠BOP=∠BAO=30°,BP=OB=3,

(3,).                                             

      ②若△BPO∽△OBA,則∠BPO=∠BAO=30°,OP=OB=1.

(1,).                      

當∠OPB=Rt∠時

③ 過點P作OP⊥BC于點P(如圖),此時△PBO∽△OBA,∠BOP=∠BAO=30°

過點P作PM⊥OA于點M.

方法一: 在Rt△PBO中,BP=OB=,OP=BP=

∵ 在Rt△PMO中,∠OPM=30°,

∴ OM=OP=;PM=OM=.∴,).  

方法二:設P(x ,x+),得OM=x ,PM=x+

由∠BOP=∠BAO,得∠POM=∠ABO.

∵tan∠POM=== ,tan∠ABOC==

x+x,解得x=.此時,).    

④若△POB∽△OBA(如圖),則∠OBP=∠BAO=30°,∠POM=30°.   

    ∴ PM=OM=

∴ )(由對稱性也可得到點的坐標).

當∠OPB=Rt∠時,點P在x軸上,不符合要求.

綜合得,符合條件的點有四個,分別是:

(3,),(1,),,),,).

練習冊系列答案
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3
2
x2
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2
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x2
C、y=
4
3
x2
D、y=
3
4
x2

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