Question

在圖1至圖4中，正方形ABCD的邊長為a，等腰直角三角形FAE的斜邊AE和AD在同一直線上．

操作示例：當AE＜a時，如圖1，在BA上選取適當的點G，BG=b，連接FG和CG，裁掉△FAG和△CGB并分別拼接到△FEH和△CHD的位置，恰能構成四邊形FGCH．
思考發(fā)現(xiàn)：小明在操作后發(fā)現(xiàn)：該剪拼方法是先將△FAG繞點F逆時針旋轉90°到△FEH的位置，易知EH與AD在同一直線上，連接CH．由剪拼方法可得DH=BG，從而又可將△CGB繞點C順時針旋轉90°到△CHD的位置．這樣，對于剪拼得到的四邊形FGCH（如圖1），
實踐探究：
（1）小明判斷出四邊形FGCH是正方形，請你給出判斷四邊形FGCH是正方形的方法．
（2）經測量，小明發(fā)現(xiàn)圖1中BG是AE一半，請你證明小明的發(fā)現(xiàn)是正確的．（提示：過點F作FM⊥AH，垂足為點M）；
拓展延伸
類比圖1的剪拼方法，請你就圖2至圖4的三種情形分別畫出剪拼成一個新正方形的示意圖．

Answer 1

考點：四邊形綜合題

專題：

分析：（1）根據旋轉的性質得出兩三角形全等，求出三角形FGH是等腰直角三角形，并推出四個角是直角，根據正方形的判定推出即可；
（2）過點F作FM⊥AH，垂足為點M，求出ME=

1

2

AE，證Rt△FMH≌Rt△HDC，推出MH=DC，即可得出答案；
拓展延伸：根據各個圖形的特點，結合正方形的判定畫出即可．

解答：解：（1）如圖，連接GH，
∵△FEH是由△FAG繞點F逆時針旋轉90°得到的，
∴△FGH是等腰直角三角形
∴FG=FH，∠FGH=∠FHG=45°，
同理：∠CGH=∠CHG=45°，
∴∠FGC=∠FHC=90°，
∴四邊形FGCH是正方形；

（2）如圖，過點F作FM⊥AH，垂足為點M，
∴∠FMH=90°
∵△FAE是等腰直角三角形，
∴ME=

1

2

AE，
∵∠FHM+∠HFM=90°，
∴∠FHM+∠CHD=90°
∴∠HFM=∠CHD，
∵四邊形ABCD和四邊形FGCH都是正方形，
∴FH=HC，∠FMH=∠CDH=90°，
在△FMH和△HDC中

∠MFH=∠DHC ∠FMH=∠HDC FH=HC

∴Rt△FMH≌Rt△HDC，
∴MH=DC，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴CD=AB
∵ME=MH-EH，
∴BG=AB-AG，
∵△FEH是由△FAG繞點F逆時針旋轉90°得到的，
∴AG=EH，
∴BG=ME=

1

2

AE；
拓展延伸：．

點評：本題考查了正方形的性質和判定，全等三角形的性質和判定，直角三角形的性質，旋轉的性質的應用，主要考查學生的推理能力和動手操作能力，題目比較好，有一定的難度．