Question

如圖，已知A（-3，2），B（2，0），點C為x軸負半軸上一點．

（1）若△ABC的面積為4，求C點的坐標；
（2）若將△ABC沿x軸折疊，使點A落在點D處；
①寫出D點的坐標并求A、D兩點之間的距離；
②延長DC交AB于點E，EF平分∠AED交x軸于點F，若∠ACF-∠AEF=15°，求∠EFB的度數(shù)； 
（3）過點C作MN平行于AB交y軸于點H，CP、HP分別平行∠BCM和∠AHQ，當(dāng)點C在x軸負半軸上運動時，∠CPH的度數(shù)是否發(fā)生變化？若不變求其度數(shù)；若變化，求其變化范圍．

Answer 1

考點：坐標與圖形性質(zhì),三角形內(nèi)角和定理,三角形的外角性質(zhì),翻折變換（折疊問題）

專題：計算題

分析：（1）利用三角形面積計算出BC=4，則OC=2，然后寫出C點坐標；
（2）①根據(jù)折疊的性質(zhì)得點D與點A關(guān)于x軸對稱，再根據(jù)關(guān)于x軸對稱的點的坐標特征得到D點坐標為（-3，-2），然后計算點A與點D的縱坐標之差即可得到AD的長；
②根據(jù)折疊的性質(zhì)得∠DCF=∠ACF，再利用三角形外角性質(zhì)得∠DCF=∠EFB+∠DEF，則∠EFB=∠ACF-∠DEF，加上∠DEF=∠AEF，所以∠EFB=∠ACF-∠AEF=15°；
（3）如圖2，根據(jù)平行線的性質(zhì)由MN∥AB得到∠MCP=∠1，∠AHQ=∠3，再根據(jù)角平分線的定義得∠MCP=

1

2

∠BCM，∠2=

1

2

∠AHQ，則∠1=

1

2

∠BCM，∠2=

1

2

∠3，接著利用三角形外角性質(zhì)得∠BCM=90°+∠3，所以2∠1=90°+2∠2，即∠1=45°+∠2，然根據(jù)∠1=∠CPH+∠2即可得到∠CPH=45°．

解答：解：（1）∵△ABC的面積為4，
∴

1

2

•2•BC=4，
∴BC=4，
而OB=2，
∴OC=2，
∴C點坐標為（-2，0）；
（2）①∵△ABC沿x軸折疊，使點A落在點D處，
∴點D與點A關(guān)于x軸對稱，
∴D點坐標為（-3，-2）；
∴AD=2-（-2）=4；
②∵△ABC沿x軸折疊，使點A落在點D處，
∴∠DCF=∠ACF，
而∠DCF=∠EFB+∠DEF，
∴∠EFB=∠ACF-∠DEF，
∵EF平分∠AED，
∴∠DEF=∠AEF，
∴∠EFB=∠ACF-∠AEF=15°；
（3）∠CPH=45°．理由如下：
如圖2，
∵MN∥AB，
∴∠MCP=∠1，∠AHQ=∠3，
∵CP、HP分別平行∠BCM和∠AHQ，
∴∠MCP=

1

2

∠BCM，∠2=

1

2

∠AHQ，
∴∠1=

1

2

∠BCM，∠2=

1

2

∠3，
∵∠BCM=90°+∠3，
∴2∠1=90°+2∠2，即∠1=45°+∠2，
∵∠1=∠CPH+∠2，
∴∠CPH=45°．

點評：本題考查了坐標與圖形性質(zhì)：利用點的坐標特征計算相應(yīng)的線段長和判斷線段與坐標軸的位置關(guān)系．也考查了三角形內(nèi)角和定理、三角形外角性質(zhì)和折疊的性質(zhì)．