Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸交于，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，其中，.

（1）求拋物線的解析式；

（2）連接，在直線上方的拋物線上有一動(dòng)點(diǎn)，連接，與直線相交于點(diǎn)，當(dāng)時(shí)， 求的值；

（3）點(diǎn)是直線上一點(diǎn)，在平面內(nèi)是否存在點(diǎn)，使以點(diǎn)，，，為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，直接寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）（3），，，

【解析】

（1）將，代入得出關(guān)于a，b的二元一次方程，求解即可；

（2）過(guò)點(diǎn)作軸的平行線，交直線與點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸的平行線，交直線與點(diǎn)，證明，得出，設(shè)，，可得出關(guān)于t的方程，解出t值，即可得出答案；

（3）分①當(dāng)PC為菱形的邊時(shí)，②當(dāng)PC為對(duì)角線時(shí)，兩種情況討論即可．

（1）將，代入

得，解得

解析式為；

（2）當(dāng)時(shí)

設(shè)直線的解析式為，將，分別代入得：

過(guò)點(diǎn)作軸的平行線，交直線與點(diǎn)，交軸于點(diǎn)

過(guò)點(diǎn)作軸的平行線，交直線與點(diǎn)

當(dāng)時(shí)

，

軸

設(shè)，

解得：

，

在中，；

（3）設(shè)直線BC的解析式為：y=kx+b，

將B(4，0)，C(0，3)代入得，

解得，

∴直線BC的解析式為：y=x+3，

①當(dāng)PC為菱形的邊時(shí)，

∵四邊形PQCA是菱形，

∴AQ∥PC，

可設(shè)AQ的解析式為：y=x+b1，

將點(diǎn)A(-1，0)代入得b1=，

∴AQ的解析式為：y=x，

∴可設(shè)Q(m，m)，

根據(jù)勾股定理得AC的長(zhǎng)為，

根據(jù)菱形的性質(zhì)可得AC=AQ，

∴=，

解得m=，

∴m1=，m2=，

將m1，m2代入y=x，

可得，；

②當(dāng)PC為對(duì)角線時(shí)，

根據(jù)菱形的性質(zhì)可得AQ⊥PC，

∴可設(shè)AQ的解析式為：y=x+b3，

將A(-1，0)代入得b3=，

∴AQ的解析式為：y=x+，

∴可設(shè)Q(n，n+)，

根據(jù)菱形的性質(zhì)可得AC=CQ，

∴=，

解得n1=-5，n2=，

將n1，n2代入y=x+，

可得，；

綜上，Q點(diǎn)的坐標(biāo)為，，，．