Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=x2﹣x﹣與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)D，點(diǎn)E（4，n）在拋物線上．

（1）求直線AE的解析式；

（2）點(diǎn)P為直線CE下方拋物線上的一點(diǎn)，連接PC，PE．當(dāng)△PCE的面積最大時(shí)，求P點(diǎn)坐標(biāo)？

（3）點(diǎn)G是線段CE的中點(diǎn)，將拋物線y=x2﹣x﹣沿x軸正方向平移得到新拋物線y′，y′經(jīng)過(guò)點(diǎn)D，y′的頂點(diǎn)為點(diǎn)F．在新拋物線y′的對(duì)稱軸上，是否存在點(diǎn)Q，使得△FGQ為等腰三角形？若存在，直接寫(xiě)出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】(1) y= x+ (2) P（2，﹣）(3) （3，）或（3，）或（3，2）或（3，﹣）

【解析】試題分析：（1）拋物線的解析式可變形為y= (x+1)(x-3)，從而可得到點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)，然后再求得點(diǎn)E的坐標(biāo)，設(shè)直線AE的解析式為y=kx+b，將點(diǎn)A和點(diǎn)E的坐標(biāo)代入求得k和b的值，從而得到AE的解析式；

（2）設(shè)直線CE的解析式為y=mx-，將點(diǎn)E的坐標(biāo)代入即可確定直線CE的解析式，過(guò)點(diǎn)P作PF∥y軸，交CE與點(diǎn)F，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，x2x），求出PF的值，表示出△EPC的面積，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求得x的值，從而得到點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）由平移后的拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)D，可得到點(diǎn)F的坐標(biāo)，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式可求得點(diǎn)G的坐標(biāo)，然后分為FG=FQ、GF=GQ，QG=QF三種情況求解即可.

解：（1）∵y=x2-x-，

∴y= (x+1)(x-3).

∴A（-1，0），B（3，0）.

當(dāng)x=4時(shí)，y=.

∴E（4，），

設(shè)直線AE的解析式為y=kx+b，將點(diǎn)A和點(diǎn)E的坐標(biāo)代入得：

，

計(jì)算得出：k=，b=，

∴直線AE的解析式為y=x+

（2）設(shè)直線CE的解析式為y=mx-，將點(diǎn)E的坐標(biāo)代入得4m-=，計(jì)算出m=.

∴直線CE的解析式為y=x-.

過(guò)點(diǎn)P作PF∥y軸，交CE與點(diǎn)F，如圖①所示.

設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，x2x），則點(diǎn)F（x，x），

則FP=(x)-(x2x)=-x2+x，

∴△EPC的面積=×(-x2+x)×4=-x2+x.

∴當(dāng)x=2時(shí)，△EPC的面積最大.

∴P（2，-）.

（3）如圖②所示：

∵y′經(jīng)過(guò)點(diǎn)D，y′的頂點(diǎn)為點(diǎn)F，

∴點(diǎn)F（3，-）.

∵點(diǎn)G為CE的中點(diǎn)，

∴G（2，）.

∴FG=，.

∴當(dāng)FG=FQ時(shí)，點(diǎn)Q（3，），Q′（3，）.

當(dāng)GF=GQ時(shí)，點(diǎn)F與點(diǎn)Q″關(guān)于y=對(duì)稱，

∴點(diǎn)Q″（3，2）.

當(dāng)QG=QF時(shí)，設(shè)點(diǎn)Q1的的坐標(biāo)為（3，a）.

由兩點(diǎn)間的距離公式可以知道：a+=，計(jì)算得出：a=-.

∴點(diǎn)Q1的坐標(biāo)為（3，-）.

綜上所述，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（3，）或（3，）或（3，2）或（3，-）.