Question

15．如圖，直角三角形ABC中，∠ACB=90°，BC=3，AC=6，E為BC延長線上一點，且EC=$\frac{25}{4}$，過點E作EF⊥AB交AB于F，將△ABC沿AB翻折，得到△ABD，將△ABD繞點B旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過程中，記旋轉(zhuǎn)中△ABD為△A′B′D′．設直線A′D′與射線EF交于點M，與射線EB交于點N，當△EMN是以∠MEN為底角的等腰三角形時，EN=13或$\frac{37}{4}$+3$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 情形1：如圖1中，當∠BEF=∠NME時，易證BN=NA′，設BN=NA′=x，在RT△BND′利用勾股定理即可解決問題．情形2：如圖2中，當∠MEN=∠MNE時，證明BN=BA′即可解決問題．

解答 解：如圖1中，當∠BEF=∠NME時，
∵∠BEF+∠ABC=90°，∠A+∠ABC=90°，
∴∠BEF=∠A=∠BA′D′=∠NME，
∴BA′∥EM，
∴∠NBA′=∠BEF=∠BA′N，
∴NB=NA′，設BN=NA′=x，
在RT△BND′中，∵BD′²+ND′²=BN²，
∴3²+（6-x）²=x²，
x=$\frac{15}{4}$，
∴EN=EB+BN=EC+BC+BN=$\frac{25}{4}$+3+$\frac{15}{4}$=13，
如圖2中，當∠MEN=∠MNE時，
∵∠MEN=∠BAC=∠BA′N=∠A′NE，
∴BA′=BN=AB=$\sqrt{B{C}^{2}+A{C}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+{6}^{2}}$=3$\sqrt{5}$，
∴EN=EC+BC+BN=$\frac{25}{4}$+3=3$\sqrt{5}$=$\frac{37}{4}$+3$\sqrt{5}$．
故答案為13或$\frac{37}{4}$+3$\sqrt{5}$．

點評 本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、勾股定理、平行線的性質(zhì)等知識，解題的關鍵是正確畫出圖形，學會分類討論的思想，小心漏解，屬于中考常考題型．