Question

如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，△ABE和△ACD都是等邊三角形，BF=FE，DF與AC相交于點M，求證：AM=MC．

Answer 1

考點：平行四邊形的判定與性質,等邊三角形的性質,菱形的判定與性質

專題：證明題

分析：連接AF、FC，根據等邊三角形的性質可得AF是∠BAE的平分線，然后求出∠BAF=∠BAC=30°，再利用“角角邊”證明△ABF和△ABC全等，根據全等三角形對應邊相等可得AF=AC，然后求出△AFC是等邊三角形，再根據等邊三角形的性質求出AF=FC=CD=AD=AC，然后求出四邊形AFCD是菱形，根據菱形的對角線互相平分可得AM=MC．

解答：證明：如圖，連AF，FC，
∵△ABE是等邊三角形，BF=EF，
∴AF是∠BAE的平分線，
∴∠BAF=∠BAE=

1

2

×60°=30°，
∵∠BAC=30°，
∴∠BAF=∠BAC=30°，
在△ABF和△ABC中，

∠BAF=∠BAC ∠AFB=∠ACB=90° AB=AB

，
∴△ABF≌△ABC（AAS），
∴AF=AC，
∵∠FAC=∠BAF+∠BAC=30°+30°=60°，
∴△AFC是等邊三角形，
又∵△ACD是等邊三角形，
∴AF=FC=CD=AD=AC，
∴四邊形AFCD是菱形，
∴AM=MC．

點評：本題考查了菱形的判定與性質，等邊三角形的性質，全等三角形的判定與性質，作輔助線構造出全等三角形和菱形是解題的關鍵，也是本題的難點．