Question

如圖，動直線y=kx（k＞0）與拋物線y=ax²（a是常數(shù)，且a＞0）相交與點O，A，以OA為邊作矩形OABC．
（1）求點A的坐標（用含k、a的式子表示）；
（2）設點B的坐標為（x，y），當點C恰好落在該拋物線上時，求y與x的函數(shù)關系式（用含a的式子表示）；
（3）在（2）中求出的函數(shù)是否有最大（或最小）值？若有，求出其值，以及此時k的值，并判斷此時四邊形OABC的形狀；若沒有，說明理由．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）利用圖象上點的坐標性質(zhì)假設出A點坐標，進而代入解析式得出即可；
（2）首先利用△AOA′∽△OCC′．得出C點坐標，進而得出Rt△BDA≌Rt△CC′O（AAS），進而得出

k

a

-x=0-（-

1

ak

），y-

k2

a

=

1

ak2

，求出y與x的函數(shù)關系式；
（3）根據(jù)題意得出k的值，進而得出AO=CO，即可得出四邊形OABC的形狀．

解答：解：（1）由題意可設點A的坐標為（x_A，kx_A），則kx_A=ax

2 A

．
∴x_A=

k

a

 或 x_A=0（舍），
∴點A的坐標為：（

k

a

，

k2

a

）；

（2）由題意可設點C的坐標為（x_c，ax

2 c

），
作AA′⊥x軸，CC′⊥x軸，垂足分別為A′、C′． 
則∠AA′O=∠CC′O=90°．
∵四邊形OABC是矩形，
∴∠AOA′=180°-∠AOC-∠COC′=180°-90°-∠COC′=∠OCC′．
∴△AOA′∽△OCC′．
∴

AA′

OA′

=

OC′

CC′

即

k2 a

k a

=

-xc

a x 2 c

•x_c=-

1

ak

．
∴點C坐標為（-

1

ak

，

1

ak2

）．
作  BB′⊥x軸，AD⊥BB′，垂足分別為B′、D．則∠BAD=90°-∠DAO，∠COC′=90°-∠AOB′．
∵∠ADB′=∠OB′D=90°，
∴DA∥OB′．
∴∠DAO=∠AOB′．
∴∠BAD=∠COC′．
又∵AB=OC，
在Rt△BDA和Rt△CC′O中，

∠BDA=∠CC′O ∠C′OC=∠DAB CO=BA

，
∴Rt△BDA≌Rt△CC′O（AAS）．
∴DA=C′O，BD=CC′，即

k

a

-x=0-（-

1

ak

），y-

k2

a

=

1

ak2

，
∴x=

1

a

（k-

1

k

），
y=

1

a

（k²+

1

k2

）
=

1

a

[（k-

1

k

）²+2]
=

1

a

（a²x²+2）
=ax²+

2

a

；

（3）由a＞0知，當x=0時，即k-

1

k

=0時，y有最小值，最小值為

2

a

，
則k-

1

k

=0，
解得，k₁=1，k₂=-1（舍）．
故點A、C的坐標分別為：（

1

a

，

1

a

）、（-

1

a

，

1

a

）．
則OA=OC=

2

a

．
又∵四邊形OABC是矩形，
∴四邊形OABC是正方形．

點評：此題主要考查了函數(shù)圖象上點的坐標性質(zhì)和正方形的判定以及全等三角形和相似三角形的判定與性質(zhì)等知識，得出A，C點坐標是解題關鍵．