Question

10．如圖，⊙O半徑為4cm，其內(nèi)接正六邊形ABCDEF，點(diǎn)P，Q同時(shí)分別從A，D兩點(diǎn)出發(fā)，以1cm/s速度沿AF，DC向中點(diǎn)F，G運(yùn)動(dòng)．連接PB，QE，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s）．
（1）求證：四邊形PEQB為平行四邊形；
（2）填空：
①當(dāng)t=2s時(shí)，四邊形PBQE為菱形；
②當(dāng)t=0或4s時(shí)，四邊形PBQE為矩形．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)正六邊形ABCDEF內(nèi)接于⊙O，可以得到正六邊形的各邊相等、各個(gè)內(nèi)角相等，由點(diǎn)P，Q同時(shí)分別從A，D兩點(diǎn)出發(fā)，以1cm/s速度，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，可以得到BP與QE，PE與BQ的關(guān)系，從而可以證得結(jié)論；
（2）①根據(jù)菱形的性質(zhì)可以得到菱形的四條邊都相等，從而可以得到所用的時(shí)間；
②根據(jù)矩形的性質(zhì)，可以分別得到t為多少時(shí)，四邊形PBQE為矩形．

解答 （1）證明：∵正六邊形ABCDEF內(nèi)接于⊙O，
∴AB=BC=CD=DE=EF=FA，∠A=∠ABC=∠C=∠D=∠DEF∠F，
∵點(diǎn)P，Q同時(shí)分別從A，D兩點(diǎn)出發(fā)，以1cm/s速度，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s），
∴AP=DQ=t，則PF=QC=4-t，
在△ABP和△DEQ中
$\left\{\begin{array}{l}{AB=DE}\\{∠A=∠D}\\{AP=DQ}\end{array}\right.$
∴△ABP≌△DEQ（SAS）
∴BP=EQ，
同理可證，PE=QB，
∴四邊形PEQB是平行四邊形．
（2）解：①當(dāng)四邊形PBQE為菱形時(shí)，PB=PE=EQ=QB，
∴△ABP≌△DEQ≌△PFE≌△QCB，
∴AP=PF=DQ=QC，
即t=4-t，得t=2，
故答案為：2；
②當(dāng)t=0時(shí)，∠EPF=∠PEF=30°，
∴∠BPE=120°-30°=90°，
∴此時(shí)四邊形PBQE為矩形；
當(dāng)t=4時(shí)，∠ABP=∠APB=30°，
∴∠BPE=120°-30°=90°，
∴此時(shí)四邊形PBQE為矩形．
故答案為：0或4．

點(diǎn)評(píng) 本題考查圓的綜合題、平行四邊形的判定、菱形的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想，找出所要證明的結(jié)論需要的條件．