Question

時(shí)針與分針的夾角
在0時(shí)到12時(shí)之間，鐘面上的時(shí)針與分針在什么時(shí)候成60 的角？試著盡可能多地找出答案．秒針與時(shí)針又共有多少次成60°的角？

Answer 1

分析：這個(gè)問(wèn)題有三種不同層次的解答．
第一種，依直覺(jué)作答，可得2時(shí)和10時(shí)這兩個(gè)答案；
第二種，對(duì)其他答案作近似估計(jì)，如在1時(shí)15分多一些的某一時(shí)刻，等等；
第三種，列方程解答，求出全部答案．

解答：解：設(shè)分針的速度為每分鐘1個(gè)單位長(zhǎng)度，則時(shí)針的速度為每分鐘

1

12

個(gè)單位長(zhǎng)度，將時(shí)針、分針看成兩個(gè)不同速度的人在環(huán)形跑道上同時(shí)（從0時(shí)開(kāi)始）開(kāi)始同向而行，要求兩者相距10個(gè)單位長(zhǎng)度所用的時(shí)間．
設(shè)從0時(shí)開(kāi)始，過(guò)z分鐘后分針與時(shí)針成60°的角，此時(shí)分針比時(shí)針多走了n圈（n=0，1，2，…，11），則x-

x

12

=60n+10或x-

x

12

=60n+50
解得x=

120

11

(6n+1)或x=

120

11

(6n+5)．
分別令n=0，1，2，3，…，11，即得本題的所有解（精確到秒），共22個(gè)：
0：10：55    1：16：22    2：21：49    3：27：16    4：32：44    5：38：11
6：43：38    7：49：05    8：54：33    10：00：00    11：05：27
0：54：33    2：00：00    3：05：27    4：10：55    5：16：22    6：21：49
7：27：16    8：32：44    9：38：11    10：43：38    11：49：05
在12個(gè)小時(shí)內(nèi)，秒針相對(duì)于時(shí)針走了60×12-1-719圈，所以秒針與時(shí)針共有719×2=1 438次成60°的角．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了鐘表分針?biāo)�轉(zhuǎn)過(guò)的角度計(jì)算．在鐘表問(wèn)題中，常利用時(shí)針與分針轉(zhuǎn)動(dòng)的度數(shù)關(guān)系：分針每轉(zhuǎn)動(dòng)1°時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)（

1

12

）°，并且利用起點(diǎn)時(shí)間時(shí)針和分針的位置關(guān)系建立角的圖形．