Question

7．如圖，平面直角坐標系中，直線AB：y=-x+b交y軸于點A（0，4），交x軸于點B．
（1）求直線AB的表達式和點B的坐標；
（2）直線l垂直平分OB交AB于點D，交x軸于點E，點P是直線l上一動點，且在點D的上方，設(shè)點P的縱坐標為n．
①用含n的代數(shù)式表示△ABP的面積；
②當S_△ABP=8時，求點P的坐標；
③在②的條件下，以PB為斜邊在第一象限作等腰直角△PBC，求點C的坐標．

Answer 1

分析 （1）把點A的坐標代入直線解析式可求得b=4，則直線的解析式為y=-x+4，令y=0可求得x=4，故此可求得點B的坐標；
（2）①由題l垂直平分OB可知OE=BE=2，將x=2代入直線AB的解析式可求得點D的坐標，設(shè)點P的坐標為（2，n），然后依據(jù)S_△APB=S_△APD+S_△BPD可得到△APB的面積與n的函數(shù)關(guān)系式為S_△APB=2n-4；
②由S_△ABP=8得到關(guān)于n的方程可求得n的值，從而得到點P的坐標；
③如圖1所示，過點C作CM⊥l，垂足為M，再過點B作BN⊥CM于點N．設(shè)點C的坐標為（p，q），先證明△PCM≌△CBN，得到CM=BN，PM=CN，然后由CM=BN，PM=CN列出關(guān)于p、q的方程組可求得p、q的值；如圖2所示，同理可求得點C的坐標．

解答 解：（1）∵把A（0，4）代入y=-x+b得b=4
∴直線AB的函數(shù)表達式為：y=-x+4．
令y=0得：-x+4=0，解得：x=4
∴點B的坐標為（4，0）．
（2）①∵l垂直平分OB，
∴OE=BE=2．
∵將x=2代入y=-x+4得：y=-2+4=2．
∴點D的坐標為（2，2）．
∵點P的坐標為（2，n），
∴PD=n-2．
∵S_△APB=S_△APD+S_△BPD，
∴S_△ABP=$\frac{1}{2}$PD•OE+$\frac{1}{2}$PD•BE=$\frac{1}{2}$（n-2）×2+$\frac{1}{2}$（n-2）×2=2n-4．
②∵S_△ABP=8，
∴2n-4=8，解得：n=6．
∴點P的坐標為（2，6）．
③如圖1所示：過點C作CM⊥l，垂足為M，再過點B作BN⊥CM于點N．

設(shè)點C（p，q）．
∵△PBC為等腰直角三角形，PB為斜邊，
∴PC=CB，∠PCM+∠MCB=90°．
∵CM⊥l，BN⊥CM，
∴∠PMC=∠BNC=90°，∠MPC+∠PCM=90°．
∴∠MPC=∠NCB．
在△PCM和△CBN中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠PMC=∠BNC=90°}\\{∠MPC=∠NCB}\\{PC=BC}\end{array}\right.$，
∴△PCM≌△CBN．
∴CM=BN，PM=CN．
∴$\left\{\begin{array}{l}{p-4=6-q}\\{q=p-2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{p=6}\\{q=4}\end{array}\right.$．
∴點C的坐標為（6，4）．
如圖2所示：過點C作CM⊥l，垂足為M，再過點B作BN⊥CM于點N．

設(shè)點C（p，q）．
∵△PBC為等腰直角三角形，PB為斜邊，
∴PC=CB，∠PCM+∠MCB=90°．
∵CM⊥l，BN⊥CM，
∴∠PMC=∠BNC=90°，∠MPC+∠PCM=90°．
∴∠MPC=∠NCB．
在△PCM和△CBN中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠PMC=∠BNC=90°}\\{∠MPC=∠NCB}\\{PC=BC}\end{array}\right.$，
∴△PCM≌△CBN．
∴CM=BN，PM=CN．
∴$\left\{\begin{array}{l}{4-p=6-q}\\{q=2-p}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{p=0}\\{q=2}\end{array}\right.$．
∴點C的坐標為（0，2）．
綜上所述點C的坐標為（6，4）或（0，2）．

點評 本題主要考查的是一次函數(shù)的綜合應用，解答本題主要應用了待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式、割補法求面積、三角形的面積公式，全等三角形的性質(zhì)可判斷，由CM=BN，PM=CN列出關(guān)于p、q的方程組是解題的關(guān)鍵．