Question

11．如圖（1）所示，E為矩形ABCD的邊AD上一點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P、Q同時(shí)從點(diǎn)B出發(fā)，點(diǎn)P以1cm/秒的速度沿折線BE-ED-DC運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)停止，點(diǎn)Q以2cm/秒的速度沿BC運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)停止．設(shè)P、Q同時(shí)出發(fā)t秒時(shí)，△BPQ的面積為ycm²．已知y與t的函數(shù)關(guān)系圖象如圖（2）（其中曲線OG為拋物線的一部分，其余各部分均為線段），則下列結(jié)論：①AD=BE=5；②當(dāng)0＜t≤5時(shí)，y=$\frac{4}{5}$t²；③cos∠ABE=$\frac{3}{5}$；④當(dāng)t=$\frac{29}{2}$秒時(shí)，△ABE∽△QBP；⑤當(dāng)△BPQ的面積為4cm²時(shí)，時(shí)間t的值是$\sqrt{10}$或$\frac{51}{5}$； 其中正確的結(jié)論是②④．

Answer 1

分析 根據(jù)圖（2）可以判斷三角形的面積變化分為四段，①當(dāng)點(diǎn)P在BE上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)C時(shí)；②當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)E時(shí)，點(diǎn)Q靜止于點(diǎn)C，從而得到BC、BE的長度；③點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)D時(shí)，點(diǎn)Q靜止于點(diǎn)C；④當(dāng)點(diǎn)P在線段CD上，點(diǎn)Q仍然靜止于點(diǎn)C時(shí)．

解答 解：根據(jù)圖（2）可得，

當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)E時(shí)點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)C，
∵點(diǎn)P、Q的運(yùn)動(dòng)的速度分別是1cm/秒、2cm/秒
∴BC=BE=10，
∴AD=BC=10．
∴①錯(cuò)誤；
又∵從M到N的變化是4，
∴ED=4，
∴AE=AD-ED=10-4=6．
∵AD∥BC，
∴∠EBQ=∠AEB，
∴cos∠EBQ=cos∠AEB=$\frac{AE}{BE}=\frac{3}{5}$，
故③錯(cuò)誤；
如圖1，過點(diǎn)P作PF⊥BC于點(diǎn)F，

∵AD∥BC，
∴∠EBQ=∠AEB，
∴sin∠EBQ=sin∠AEB=$\frac{AB}{BE}$=$\frac{4}{5}$，
∴PF=PBsin∠EBQ=$\frac{4}{5}$t，
∴當(dāng)0＜t≤5時(shí)，y=$\frac{1}{2}$BQ×PF=$\frac{1}{2}$×2t×$\frac{4}{5}$t=$\frac{4}{5}$t²，
故②正確，
如圖4，

當(dāng)t=$\frac{29}{2}$時(shí)，點(diǎn)P在CD上，
∴PD=$\frac{29}{2}$-BE-ED=$\frac{29}{2}$-10-4=$\frac{1}{2}$，
PQ=CD-PD=8-$\frac{1}{2}$=$\frac{15}{2}$，
∴$\frac{AB}{AE}=\frac{4}{3}$，$\frac{BQ}{PQ}=\frac{4}{3}$，
∴$\frac{AB}{AE}=\frac{BQ}{PO}$
∵∠A=∠Q=90°，
∴△ABE∽△QBP，
故④正確．
由②知，y=$\frac{4}{5}$t²
當(dāng)y=4時(shí)，$\frac{4}{5}$t²=4，
從而$t=\sqrt{5}$，
故⑤錯(cuò)誤
綜上所述，正確的結(jié)論是②④．

點(diǎn)評 此題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了銳角三角函數(shù)，全等三角形的性質(zhì)和判定，相似三角形的性質(zhì)和判定，解本題的關(guān)鍵是線段的計(jì)算，也是本題的難點(diǎn)．