Question

如圖，矩形紙片ABCD，AD=BC=3，AB=CD=9，在矩形ABCD的邊AB上取一點(diǎn)M，在CD上取一點(diǎn)N，將紙片沿MN折疊，使MB與DN交于點(diǎn)K，得到△MNK，以下命題：
①△MNK一定是等腰三角形； 
②△MNK可能是鈍角三角形；
③△MNK有最小面積且等于4.5；
④△MNK有最大面積且7.5，
其中對(duì)△MNK的敘述正確的為

①②③④

．

Answer 1

分析：①首先根據(jù)矩形的性質(zhì)可得AM∥DN，再根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠KNM=∠1，由折疊可得∠KMN=∠1，進(jìn)而得到∠KNM=∠KMN，根據(jù)等角對(duì)等邊可得KN=KM，得到△MNK是等腰三角形；
②利用將矩形紙片沿對(duì)角線AC對(duì)折，此時(shí)折痕為AC，即可得出△MNK是鈍角三角形；
③根據(jù)當(dāng)KN=AD=3時(shí)，△MNK最小面積求出即可；
④此題要分兩種情況進(jìn)行討論：①將矩形紙片對(duì)折，使點(diǎn)B與點(diǎn)D重合，此時(shí)點(diǎn)K也與點(diǎn)D重合；②將矩形紙片沿對(duì)角線AC對(duì)折，此時(shí)折痕為AC，分別進(jìn)行計(jì)算即可．

解答：解：①如圖1，∵四邊形ABCD是矩形，
∴AM∥DN，
∴∠KNM=∠1．
∵∠KMN=∠1，
∴∠KNM=∠KMN．
∴KN=KM，
∴△MNK是等腰三角形，故此選項(xiàng)正確；
②如圖3，△MNK可是鈍角三角形，故此選項(xiàng)正確；
③如圖1，當(dāng)KN=AD=3時(shí)，此時(shí)，△MNK面積最小，△MNK最小面積為：

1

2

×3×3=4.5，故此選項(xiàng)正確；
④分兩種情況：
情況一：如圖2，將矩形紙片對(duì)折，使點(diǎn)B與點(diǎn)D重合，此時(shí)點(diǎn)K也與點(diǎn)D重合．
設(shè)MK=MD=x，則AM=9-x，
在Rt△DAM中，由勾股定理，得x²=（9-x）²+3²，
解得，x=5．
即MD=ND=5，
故S_△MNK=S_梯形AMND-S_△ADM=9×3×

1

2

-4×3×

1

2

=7.5．
情況二：如圖3，將矩形紙片沿對(duì)角線AC對(duì)折，此時(shí)折痕為AC．
設(shè)MK=AK=CK=x，則DK=9-x，
同理可得x²=（9-x）²+3²，
解得：x=5，
即MK=NK=5．
故S_△MNK=S_△DAC-S_△DAK=

1

2

×9×3-

1

2

×4×3=7.5，故此選項(xiàng)正確；
故答案為：①②③④．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了翻折變換、矩形的性質(zhì)、勾股定理、三角形的面積計(jì)算等知識(shí)，注意分類思想的運(yùn)用，綜合性較強(qiáng)，有一點(diǎn)的難度．