【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB>AC,射線AM平分∠BAC.

(1)設AM交BC于點D,DE⊥AB于點E,DF⊥AC于點F,連接EF.有以下三種“判斷”:
判斷1:AD垂直平分EF.
判斷2:EF垂直平分AD.
判斷3:AD與EF互相垂直平分.
你同意哪個“判斷”?簡述理由;
(2)若射線AM上有一點N到△ABC的頂點B,C的距離相等,連接NB,NC.
①請指出△NBC的形狀,并說明理由;
②當AB=11,AC=7時,求四邊形ABNC的面積.

【答案】
(1)

解:如圖,判斷3正確.理由如下:

∵∠BAC=90°,DE⊥ABDF⊥AC,

∴DE=DF,∴∠AED=∠AFD=∠EAF=90°,

∴四邊形AEDF是矩形,∵DE=DF,

∴四邊形AEDF是正方形,

∴AD與EF互相垂直平分.

故判斷3正確


(2)

解:①結論:△BCN是等腰直角三角形.理由如下:

如圖作NE⊥AB于E,F(xiàn)N⊥AC于F.

∵MA是∠BAC的平分線,

∴NE=NF,

在Rt△NEB和Rt△NFC中,

,

∴△NEB≌△NFC,

∴BE=CF,∠BNE=∠CNF,

易知四邊形AENF是正方形,

∴AE=AF,∠BNC=∠ENF=90°,

∴△BNC是等腰直角三角形.

②∵AB+AC=(AE+BE)+(AF﹣CF)=2AE=18,

∴AE=AF=9,

∵△NEB≌△NFC,

∴SNEB=SNFC

∴S四邊形ABNC=S正方形AENF=92=81


【解析】(1)結論:判斷3正確.只要證明四邊形AEDF是正方形即可解決問題.(2)①△BCN是等腰直角三角形.如圖作NE⊥AB于E,F(xiàn)N⊥AC于F.只要證明△NEB≌△NFC,四邊形AENF是正方形即可解決問題.②由△NEB≌△NFC,推出SNEB=SNFC , 推出S四邊形ABNC=S正方形AENF , 由此即可解決問題.

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