Question

矩形ABCD一條邊AD=8，將矩形ABCD折疊，使得點(diǎn)B落在CD邊上的點(diǎn)P處．
（1）如圖1，已知折痕與邊BC交于點(diǎn)O，連接AP、OP、OA．
①求證：△OCP∽△PDA；
②若△OCP與△PDA的面積比為1：4，求邊AB的長．
（2）如圖2，在（1）的條件下，擦去AO和OP，連接BP．動點(diǎn)M在線段AP上（不與點(diǎn)P、A重合），動點(diǎn)N在線段AB的延長線上，且BN=PM，連接MN交PB于點(diǎn)F，作ME⊥BP于點(diǎn)E．試問動點(diǎn)M、N在移動的過程中，線段EF的長度是否發(fā)生變化？若不變，求出線段EF的長度；若變化，說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：相似形綜合題

專題：

分析：（1）①先證出∠C=∠D=90°，再根據(jù)∠1+∠3=90°，∠1+∠2=90°，得出∠2=∠3，即可證出△OCP∽△PDA；
②根據(jù)△OCP與△PDA的面積比為1：4，得出CP=

1

2

AD=4，設(shè)OP=x，則CO=8-x，由勾股定理得 x²=（8-x）²+4²，求出x，最后根據(jù)AB=2OP即可求出邊AB的長；
（2）作MQ∥AN，交PB于點(diǎn)Q，求出MP=MQ，BN=QM，得出MP=MQ，根據(jù)ME⊥PQ，得出EQ=

1

2

PQ，根據(jù)∠QMF=∠BNF，證出△MFQ≌△NFB，得出QF=

1

2

QB，
再求出EF=

1

2

PB，由（1）中的結(jié)論求出PB=

82+42

=4

5

，最后代入EF=

1

2

PB即可得出線段EF的長度不變．

解答：解：（1）①如圖1，∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠C=∠D=90°，
∴∠1+∠3=90°，
∵由折疊可得∠APO=∠B=90°，
∴∠1+∠2=90°，
∴∠2=∠3，
又∵∠D=∠C，
∴△OCP∽△PDA；
②如圖1，∵△OCP與△PDA的面積比為1：4，
∴

OP

PA

=

CP

DA

=

1 4

=

1

2

，
∴CP=

1

2

AD=4，
設(shè)OP=x，則CO=8-x，
在Rt△PCO中，∠C=90°，
由勾股定理得 x²=（8-x）²+4²，
解得：x=5，
∴AB=AP=2OP=10，
∴邊AB的長為10；

（2）作MQ∥AN，交PB于點(diǎn)Q，如圖2，
∵AP=AB，MQ∥AN，
∴∠APB=∠ABP=∠MQP．
∴MP=MQ，
∵BN=PM，
∴BN=QM．
∵M(jìn)P=MQ，ME⊥PQ，
∴EQ=

1

2

PQ．
∵M(jìn)Q∥AN，
∴∠QMF=∠BNF，
在△MFQ和△NFB中，

∠QFM=∠NFB ∠QMF=∠BNF MQ=BN

，
∴△MFQ≌△NFB（AAS）．
∴QF=

1

2

QB，
∴EF=EQ+QF=

1

2

PQ+

1

2

QB=

1

2

PB，
由（1）中的結(jié)論可得：PC=4，BC=8，∠C=90°，
∴PB=

82+42

=4

5

，
∴EF=

1

2

PB=2

5

，
∴在（1）的條件下，當(dāng)點(diǎn)M、N在移動過程中，線段EF的長度不變，它的長度為2

5

．

點(diǎn)評：此題考查了相似形綜合，用到的知識點(diǎn)是相似三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、等腰三角形的性質(zhì)，關(guān)鍵是做出輔助線，找出全等和相似的三角形．