Question

2．如圖，二次函數(shù)y=-$\frac{1}{2}$x²+2與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，動點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)，以1個單位每秒的速度向點(diǎn)B運(yùn)動，動點(diǎn)Q同時從C點(diǎn)出發(fā)，以相同的速度向y軸正方向運(yùn)動，運(yùn)動時間為t秒，點(diǎn)P到達(dá)B點(diǎn)時，點(diǎn)Q同時停止運(yùn)動．設(shè)PQ交直線AC于點(diǎn)G．
（1）直接寫出點(diǎn)A（-2，0）、點(diǎn)C（0，2）的坐標(biāo)，求直線AC的解析式；
（2）設(shè)△PQC的面積為S，求S關(guān)于t的函數(shù)解析式；
（3）過點(diǎn)P作PE⊥AC，垂足為E，當(dāng)P點(diǎn)運(yùn)動時，線段EG的長度是否發(fā)生改變，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)自變量與函數(shù)值的對應(yīng)關(guān)系，可得A、C點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)待定系數(shù)法，可得函數(shù)解析式；
（2）根據(jù)根據(jù)線段的和差，可得OP的長，CQ的長，根據(jù)三角形的面積公式，可得答案；
（3）根據(jù)余弦函數(shù)，可得AE的長，根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)，可得GH的長，根據(jù)余弦函數(shù)，可得GC的長，根據(jù)線段的和差，可得答案．

解答 解：（1）y=-$\frac{1}{2}$x²+2，當(dāng)x=0時，y=2，即C（0，2），
當(dāng)y=0時，x=±2，
∴A（-2，0），B（2，0）．
設(shè)直線AC的解析式是y=kx+b，
代入得：$\left\{\begin{array}{l}{-2k+b=0}\\{b=2}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=2}\end{array}\right.$，
即直線AC的解析式是y=x+2；
（2）當(dāng)0≤t＜2時，OP=（2-t），QC=t，
∴△PQC的面積為：S=$\frac{1}{2}$（2-t）t=-$\frac{1}{2}$t²+t，
當(dāng)2＜t≤4時，OP=（t-2），QC=t，
∴△PQC的面積為：S=$\frac{1}{2}$（t-2）t=$\frac{1}{2}$t²-t，
∴S=$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{2}{t}^{2}+t（0＜t＜2）}\\{\frac{1}{2}{t}^{2}-t（2≤t≤4）}\end{array}\right.$；
（3）EG的長度不變，
當(dāng)0＜t＜2時，如圖1，過G作GH⊥y軸，垂足為H．

由AP=t，可得AE=AP•cos∠PAE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$t．
∵GH∥OP，
∴$\frac{GH}{PO}$=$\frac{QH}{QO}$，即$\frac{GH}{2-t}$=$\frac{GH+t}{2+t}$，
解得GH=1-$\frac{t}{2}$，
∴GC=$\sqrt{2}$GH=$\sqrt{2}$-$\frac{\sqrt{2}}{2}$t．
于是GE=AC-AE-GC=2$\sqrt{2}$-$\frac{\sqrt{2}}{2}$t-（$\sqrt{2}$-$\frac{\sqrt{2}}{2}$t）=$\sqrt{2}$，
即GE的長度不變；
當(dāng)2＜t≤4時，如圖2，過G作GH⊥y軸，垂足為H．

由AP=t，可得AE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$t．
由$\frac{GH}{PO}$=$\frac{QH}{QO}$，$\frac{GH}{t-2}$=$\frac{t-GH}{2+t}$，
∴GH（2+t）=t（t-2）-（t-2）GH，
∴GH（2+t）+（t-2）GH=t（t-2），
∴2tGH=t（t-2），
解得GH=$\frac{t-2}{2}$，GC=$\sqrt{2}$GH=$\frac{\sqrt{2}（t-2）}{2}$．
于是GE=AC-AE+GC=2$\sqrt{2}$-$\frac{\sqrt{2}}{2}$t+$\frac{\sqrt{2}（t-2）}{2}$=$\sqrt{2}$，
即CE的長度不變．
綜上所述：當(dāng)P點(diǎn)運(yùn)動時，線段EG的長度不發(fā)生不變化，為定值$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評 本題考查了二次函數(shù)綜合題，利用自變量與函數(shù)值的對應(yīng)關(guān)系求圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，利用待定系數(shù)求函數(shù)解析式；利用三角形的面積得出函數(shù)解析式是解題關(guān)鍵，要分類討論，以防遺漏；利用相似三角形的判定與性質(zhì)得出GH的長是解題關(guān)鍵，又利用了銳角三角函數(shù)，線段的和差，要分類討論，以防遺漏．