Question

如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足為點(diǎn)D，E、F分別是AC、BC邊上的點(diǎn)，且CE=

1

3

AC，BF=

1

3

BC．求證：
（1）

AC

BC

=

CD

BD

；
（2）∠BDC=∠FDB．

Answer 1

考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：證明題

分析：（1）證相關(guān)線段所在的三角形相似即可，即證Rt△ADC∽R(shí)t△CDB；
（2）易證得CE：BF=AC：BC，聯(lián)立（1）的結(jié)論，即可得出CE：BF=CD：BD，由此易證得△CED∽△BFD，即可得出∠CDE=∠BDF．

解答：證明：（1）∵∠ACB=90°，CD⊥AB，
∴∠CDB=∠ACB=90°，
又∵∠B=∠B，
∴△ACB∽△CDB，
∴

AC

BC

=

CD

BD

；
（2）∵CE=

1

3

AC，BF=

1

3

BC，
∴CE：BF=AC：BC，
∴由（1）的結(jié)論得：CE：BF=CD：BD，
∵∠B+∠BCD=∠ECD+∠BCD=90°，
∴∠B=∠ECD，
∴△ECD∽△FBD．
∴∠EDC=∠FDB．

點(diǎn)評(píng)：此題考查的是相似三角形的判定和性質(zhì)；識(shí)別兩三角形相似，除了要掌握定義外，還要注意正確找出兩三角形的對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角，可利用數(shù)形結(jié)合思想根據(jù)圖形提供的數(shù)據(jù)計(jì)算對(duì)應(yīng)角的度數(shù)、對(duì)應(yīng)邊的比．