Question

如圖，以A（0，

3

）為圓心的圓與x軸相切于坐標(biāo)原點(diǎn)O，與y軸相交于點(diǎn)B，弦BD的延長(zhǎng)線交x軸的負(fù)半軸于點(diǎn)E，且∠BEO=60°，AD的延長(zhǎng)線交x軸于點(diǎn)C．
（1）分別求點(diǎn)E、C的坐標(biāo)；
（2）求經(jīng)過(guò)A、C兩點(diǎn)，且以過(guò)E而平行于y軸的直線為對(duì)稱軸的拋物線的函數(shù)解析式；
（3）設(shè)拋物線的對(duì)稱軸與AC的交點(diǎn)為M，試判斷以M點(diǎn)為圓心，ME為半徑的圓與⊙A的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）已知了A點(diǎn)的坐標(biāo)，即可得出圓的半徑和直徑，可在直角三角形BOE中，根據(jù)∠BEO和OB的長(zhǎng)求出OE的長(zhǎng)進(jìn)而可求出E點(diǎn)的坐標(biāo)，同理可在直角三角形OAC中求出C點(diǎn)的坐標(biāo)．
（2）已知了對(duì)稱軸的解析式，可據(jù)此求出C點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)，然后根據(jù)此點(diǎn)坐標(biāo)以及C，A的坐標(biāo)用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式．
（3）兩圓應(yīng)該外切，由于直線DE∥OB，因此∠MED=∠ABD，由于AB=AD，那么∠ADB=∠ABD，將相等的角進(jìn)行置換后可得出∠MED=∠MDE，即ME=MD，因此兩圓的圓心距AM=ME+AD即兩圓的半徑和，因此兩圓外切．

解答：解：（1）在Rt△EOB中EO=

OB

tan60°

=

2 3

3

=2，
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（-2，0），
在Rt△COA中，OC=OA•tan∠CAO=OA•tan60°=

3

×

3

=3，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（-3，0）．

（2）∵點(diǎn)C關(guān)于對(duì)稱軸x=-2對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為（-1，0），
點(diǎn)C與點(diǎn)（-1，0）都在拋物線上，
設(shè)y=a（x+1）（x+3），把A（0，

3

）代入得，

3

=a（0+1）（0+3），
∴a=

3

3

，
∴y=

3

3

（x+1）（x+3）
即y=

3

3

x²+

4

3

3

x+

3

．

（3）⊙M與⊙A外切，
證明如下：∵M(jìn)E∥y軸，
∴∠MED=∠B，
∵∠B=∠BDA=∠MDE，
∴∠MED=∠MDE，
∴ME=MD，
∵M(jìn)A=MD+AD=ME+AD，
∴⊙M與⊙A外切．

點(diǎn)評(píng)：本題著重考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、切線的性質(zhì)、圓與圓的位置關(guān)系等知識(shí)點(diǎn)．