Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y=x+2與x軸、y軸交于A、B兩點(diǎn)，動點(diǎn)P從A出發(fā)沿射線AO運(yùn)動，動點(diǎn)Q同時從點(diǎn)B出發(fā)沿OB的延長線運(yùn)動，點(diǎn)P、Q的運(yùn)動速度均為每秒一個單位長．連接PQ交直線AB于D．
（1）求A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動時間為t秒，試求△PBQ的面積S與t的關(guān)系式．
（3）是否存在合適的t值，使△PBQ與△AOB的面積相等？若存在，請求出t的值；若不存在，請說明理由．
（4）過P作PE⊥AB與E，DE的長度是固定值還是不確定的？直接寫出你的判斷結(jié)果不必說明理由．

Answer 1

解：如圖：
（1）由x=0，y=2，B（0，2）；
由y=0，x=-2，A（-2，0）；

（2）當(dāng)0≤t≤2時，AP=t，PO=2-t，S=；
當(dāng)t＞2時，AP=t，PO=t-2，S=；

（3）存在．
S_△AOB==2．
當(dāng)=2時，t²-2t+4=0無解．
當(dāng)=2時，t²-2t-4=0，t=，t=符合題意．
∴當(dāng)t=時，S_△AOB=S_△PCQ．

（4）DE的長度為定值，且DE=
理由如下：過P作PF∥OB交AB于F，
∵AO=BO=2，x軸⊥y軸．
∴AB=，且△AOB、△APE、△FPA均是等腰直角三角形．
∵AP=PF=BQ，
∴△PFD≌△QBD．
∴D是BF的中點(diǎn)．
∵PE⊥AB，
∴E是AF的中點(diǎn)，
∴DE=．
P在原點(diǎn)的右側(cè)時類似．仍有DE=．
分析：（1）令x=0，或y=0．即可得到B（0，2）；A（-2，0）；
（2）分類討論：當(dāng)0≤t≤2，或t＞2，利用坐標(biāo)表示有關(guān)線段長，然后根據(jù)三角形的面積公式得到關(guān)系式；
（3）DE的長度為定值．
點(diǎn)評：本題考查了一次函數(shù)的性質(zhì)：y=kx+b（k≠0）為一條直線，點(diǎn)在直線上，點(diǎn)的坐標(biāo)滿足解析式．也考查了三角形的面積公式以及等腰直角三角形的性質(zhì)．