【題目】如圖AB是半圓O的直徑,點(diǎn)PBA的延長(zhǎng)線上PDO于點(diǎn)C,BDPD,垂足為D連接BC

1求證:BC平分PDB

2求證:BC2=ABBD;

3PA=6PC=6,BD的長(zhǎng)

【答案】1證明見(jiàn)解析;2證明見(jiàn)解析;34

【解析】

試題分析:1連接OC,由PD為圓O的切線,利用切線的性質(zhì)得到OC垂直于PD,由BD垂直于PD得到OC與BD平行,利用兩直線平行得到一對(duì)內(nèi)錯(cuò)角相等再由OC=OB,利用等邊對(duì)等角得到一對(duì)角相等等量代換即可得證;

2連接AC,由AB為圓O的直徑利用直徑所對(duì)的圓周角為直角得到ABC為直角三角形,根據(jù)一對(duì)直角相等,以及第一問(wèn)的結(jié)論得到一對(duì)角相等確定出ABC與BCD相似,由相似得比例變形即可得證;

3由切割線定理列出關(guān)系式將PA,PC的長(zhǎng)代入求出PB的長(zhǎng),由PB-PA求出AB的長(zhǎng),確定出圓的半徑由OC與BD平行得到PCO與DPB相似,由相似得比例將OC,OP,以及PB的長(zhǎng)代入即可求出BD的長(zhǎng)

試題解析:1連接OC,

PD為圓O的切線,

OCPD

BDPD,

OCBD,

∴∠OCB=CBD,

OC=OB,

∴∠OCB=OBC,

∴∠CBD=OBC,

則BC平分PBD;

2連接AC

AB為圓O的直徑

∴∠ACB=90°,

∵∠ACB=CDB=90°ABC=CBD,

∴△ABC∽△CBD

,即BC2=ABBD;

3PC為圓O的切線,PAB為割線,

PC2=PAPB,即72=6PB,

解得:PB=12,

AB=PB-PA=12-6=6,

OC=3,PO=PA+AO=9

∵△OCP∽△BDP,

,,

則BD=4

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