Question

如圖，△ABC中，∠C=Rt∠，AC=8cm，BC=6cm，若動點P從點C開始，按C→A→B→C的路徑運動，且速度為每秒2cm，設運動的時間為t秒．
（1）當t為何值時，CP把△ABC的周長分成相等的兩部分．
（2）當t為何值時，CP把△ABC的面積分成相等的兩部分，并求出此時CP的長；
（3）當t為何值時，△BCP為等腰三角形？

Answer 1

考點：等腰三角形的判定,三角形的面積

專題：動點型

分析：（1）先由勾股定理求出△ABC的斜邊AB=10cm，則△ABC的周長為24cm，所以當CP把△ABC的周長分成相等的兩部分時，點P在AB上，此時CA+AP=BP+BC=12cm，再根據時間=路程÷速度即可求解；
（2）根據中線的性質可知，點P在AB中點時，CP把△ABC的面積分成相等的兩部分，進而求解即可；
（3）△BCP為等腰三角形時，分三種情況進行討論：①CP=CB；②BC=BP；③PB=PC．

解答：解：（1）△ABC中，∵∠C=Rt∠，AC=8cm，BC=6cm，
∴AB=10cm，
∴△ABC的周長=8+6+10=24cm，
∴當CP把△ABC的周長分成相等的兩部分時，點P在AB上，此時CA+AP=BP+BC=12cm，
∴t=12÷2=6（秒）；

（2）當點P在AB中點時，CP把△ABC的面積分成相等的兩部分，此時CA+AP=8+5=13（cm），
∴t=13÷2=6.5（秒）；

（3）△BCP為等腰三角形時，分三種情況：
①如果CP=CB，那么點P在AC上，CP=6cm，此時t=6÷2=3（秒）；
如果CP=CB，那么點P在AB上，CP=6cm，此時t=5.4（秒）
（點P還可以在AB上，此時，作AB邊上的高CD，利用等面積法求得CD=4.8，再利用勾股定理求得DP=3.6，所以BP=7.2，AP=2.8，所以t=（8+2.8）÷2=5.4（秒））
②如果BC=BP，那么點P在AB上，BP=6cm，CA+AP=8+10-6=12（cm），此時t=12÷2=6（秒）；
③如果PB=PC，那么點P在BC的垂直平分線與AB的交點處，即在AB的中點，此時CA+AP=8+5=13（cm），
t=13÷2=6.5（秒）；
綜上可知，當t=3秒或5.4秒或6秒或6.5秒時，△BCP為等腰三角形．

點評：本題考查了勾股定理，等腰三角形的判定，三角形的周長與面積，三角形的中線，難度適中．利用分類討論的思想是解（3）題的關鍵．