Question

“低碳生活”作為一種健康、環(huán)保、安全的生活方式，受到越來越多人的關(guān)注．某公司生產(chǎn)的健身自行車在市場上受到普遍歡迎，在國內(nèi)市場和國外市場暢銷，生產(chǎn)的產(chǎn)品可以全部售出．該公司的年生產(chǎn)能力為10萬輛，在國內(nèi)市場每臺(tái)的利潤y₁（元）與銷量x（萬臺(tái)）的關(guān)系如圖所示；在國外市場每臺(tái)的利潤y₂（元）與銷量x（萬臺(tái)）的關(guān)系為
y₂=

-30x+360(0≤x≤4) 180(4＜x≤10)

．
（1）求國內(nèi)市場的銷售總利潤z（萬元）關(guān)于銷售量x（萬臺(tái)）的函數(shù)關(guān)系式，并指出自變量的取值范圍．
（2）求該公司每年的總利潤w（萬元）關(guān)于國內(nèi)市場的銷量x（萬臺(tái)）的函數(shù)關(guān)系式，并幫助該公司確定國內(nèi)、國外市場的銷量各為多少萬臺(tái)時(shí)，公司的年利潤最大？

Answer 1

分析：（1）根據(jù)圖表中的數(shù)據(jù)，設(shè)出關(guān)系式，代入數(shù)據(jù)即可求出關(guān)系式；
（2）題中等量關(guān)系為：總利潤=國內(nèi)利潤+國外利潤，根據(jù)等量關(guān)系列出方程式．

解答：解：（1）由圖知：y1=

400(0≤x≤4) 560-40x(4≤x≤10)

則z₁=xy₁=

400x(0≤x≤4) 560x-40x2(4≤x≤10)

；

（2）該公司在國外市場的利潤Z₂=xy₂=

-30x2+360x(0≤x≤4) 180x(4＜x≤10)

該公司的年生產(chǎn)能力為10萬輛，在國內(nèi)市場銷售x萬輛時(shí)，在國外市場銷售（10-x）萬輛，則
z₁=

400x(0≤x≤4) 560x-40x2(4≤x≤10)

，
z2=

-30(10-x)2+360(10-x)(0≤10-x≤6) 180(10-x)(6≤10-x≤10)

=

-30x2+240x+600(4≤x≤10) -180x+1800(0≤x≤4)

設(shè)該公司每年的總利潤為w（萬元），
則w=z₁+z₂=

220x+1800(0≤x≤4) -70x2+800x+600(5≤x≤10)

=

220x+1800(0≤x≤4) -70(x- 40 7 )2+ 20200 7 (4≤x≤10)

當(dāng)0≤x≤4時(shí)，w隨t的增大而增大，當(dāng)x=4時(shí)，w取最大值，此時(shí)w=2680．
當(dāng)4≤x≤10時(shí)，當(dāng)x=

40

7

≈5.7143萬輛時(shí)，w取最大值，此時(shí)w=

20200

7

．
綜合得：當(dāng)x=

40

7

≈5.7143萬輛時(shí)，w的最大值為

20200

7

．此時(shí)，國內(nèi)的銷量約為5.7143萬輛，國外市場銷量約為4.2857萬輛，總利潤為

20200

7

萬元．

點(diǎn)評：本題主要考查一次函數(shù)的應(yīng)用，要注意找好題中等量關(guān)系．