Question

【題目】已知和都是等腰三角形，，，．

（初步感知）（1）特殊情形：如圖①，若點(diǎn)，分別在邊，上，則__________．（填＞、＜或=）

（2）發(fā)現(xiàn)證明：如圖②，將圖①中的繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)在外部，點(diǎn)在內(nèi)部時(shí)，求證：．

（深入研究）（3）如圖③，和都是等邊三角形，點(diǎn)，，在同一條直線上，則的度數(shù)為__________；線段，之間的數(shù)量關(guān)系為__________．

（4）如圖④，和都是等腰直角三角形，，點(diǎn)、、在同一直線上，為中邊上的高，則的度數(shù)為__________；線段，，之間的數(shù)量關(guān)系為__________．

（拓展提升）（5）如圖⑤，和都是等腰直角三角形，，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，連結(jié)、．當(dāng)，時(shí)，在旋轉(zhuǎn)過程中，與的面積和的最大值為__________．

Answer 1

【答案】（1）=；（2）證明見解析；（3）60°，BD=CE；（4）90°，AM+BD=CM；（5）7

【解析】

（1）由DE∥BC，得到，結(jié)合AB=AC，得到DB=EC；

（2）由旋轉(zhuǎn)得到的結(jié)論判斷出△DAB≌△EAC，得到DB=CE；

（3）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和全等三角形的判定定理證明△DAB≌△EAC，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)求出結(jié)論；

（4）根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)和等腰直角三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；

（5）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的過程中△ADE的面積始終保持不變，而在旋轉(zhuǎn)的過程中，△ADC的AC始終保持不變，即可．

[初步感知]（1）∵DE∥BC，

∴，

∵AB=AC，

∴DB=EC，

故答案為：=，

（2）成立．

理由：由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知∠DAB=∠EAC，

在△DAB和△EAC中

，

∴△DAB≌△EAC（SAS），

∴DB=CE；

[深入探究]（3）如圖③，設(shè)AB，CD交于O，

∵△ABC和△ADE都是等邊三角形，

∴AD=AE，AB=AC，∠DAE=∠BAC=60°，

∴∠DAB=∠EAC，

在△DAB和△EAC中

，

∴△DAB≌△EAC（SAS），

∴DB=CE，∠ABD=∠ACE，

∵∠BOD=∠AOC，

∴∠BDC=∠BAC=60°；

（4）∵△DAE是等腰直角三角形，

∴∠AED=45°，

∴∠AEC=135°，

在△DAB和△EAC中

，

∴△DAB≌△EAC（SAS），

∴∠ADB=∠AEC=135°，BD=CE，

∵∠ADE=45°，

∴∠BDC=∠ADB-∠ADE=90°，

∵△ADE都是等腰直角三角形，AM為△ADE中DE邊上的高，

∴AM=EM=MD，

∴AM+BD=CM；

故答案為：90°，AM+BD=CM；

【拓展提升】

（5）如圖，

由旋轉(zhuǎn)可知，在旋轉(zhuǎn)的過程中△ADE的面積始終保持不變，

△ADE與△ADC面積的和達(dá)到最大，

∴△ADC面積最大，

∵在旋轉(zhuǎn)的過程中，AC始終保持不變，

∴要△ADC面積最大，

∴點(diǎn)D到AC的距離最大，

∴DA⊥AC，

∴△ADE與△ADC面積的和達(dá)到的最大為2+×AC×AD=5+2=7，

故答案為7．