Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，過(guò)一點(diǎn)分別作坐標(biāo)軸的垂線，若與坐標(biāo)軸圍成矩形的周長(zhǎng)與面積相等，則稱這個(gè)點(diǎn)為強(qiáng)點(diǎn)．例如，圖中過(guò)點(diǎn)P分別作x軸，y軸的垂線與坐標(biāo)軸圍成矩形OAPB的周長(zhǎng)與面積相等，則點(diǎn)P是強(qiáng)點(diǎn)．

（1）點(diǎn)M(l，2)，N(4，4)，Q(6，－3)中，是強(qiáng)點(diǎn)的有 ；

（2）若強(qiáng)點(diǎn)P(2a，3)在雙曲線上，求a和b的值．

Answer 1

【答案】（1）N，Q；（2）a=3，b=20或a=3，b=16

【解析】

（1）利用矩形的周長(zhǎng)公式、面積公式結(jié)合強(qiáng)點(diǎn)的定義，即可找出點(diǎn)N，Q是強(qiáng)點(diǎn)；

（2）分a>0及a<0兩種情況考慮：①當(dāng)a>0時(shí)，利用強(qiáng)點(diǎn)的定義可得出關(guān)于a的一元一次方程，解之可得出a的值，再利用反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可求出b值；②當(dāng)a<0時(shí)，利用強(qiáng)點(diǎn)的定義可得出關(guān)于a的一元一次方程，解之可得出a的值，再利用反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可求出b值．綜上，即可得出結(jié)論．

（1）∵M(l,2)，N(4,4)，Q(6,－3)

∵(1+2)×2≠1×2，(4+4)×2=4×4，(6+3)×2=6×3，

∴點(diǎn)N，Q是強(qiáng)點(diǎn)．

故答案為：N，Q

（2）分兩種情況考慮：

①當(dāng)a>0時(shí)，(2a+3)×2=6a，

∴a=3

∵點(diǎn)P(6,3)在雙曲線上，

∴3×6= b-2，

∴b=20；

②當(dāng)a<0時(shí)，(2a+3)×2=6a，

∴a=3

∵點(diǎn)P(6,3)在雙曲線上，

∴3×(-6)=b-2，

∴b=16

綜上所述：a=3，b=20或a=3，b=16

故答案為：a=3，b=20或a=3，b=16