【題目】如圖,已知一條直線過(guò)點(diǎn),且與拋物線交于兩點(diǎn),其中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是

求這條直線的函數(shù)關(guān)系式及點(diǎn)的坐標(biāo).

軸上是否存在點(diǎn),使得是直角三角形?若存在,求出點(diǎn)的坐標(biāo),若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

過(guò)線段上一點(diǎn),作軸,交拋物線于點(diǎn),點(diǎn)在第一象限,點(diǎn),當(dāng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為何值時(shí),的長(zhǎng)度最大?最大值是多少?

【答案】(1) 直線,B(8,16);(2)存在,,理由見(jiàn)解析;(3)當(dāng)的橫坐標(biāo)為時(shí),的長(zhǎng)度的最大值是

【解析】

(1)首先求得點(diǎn)A的坐標(biāo),然后利用待定系數(shù)法確定直線的解析式,從而求得直線與拋物線的交點(diǎn)坐標(biāo);

(2)如圖1,過(guò)點(diǎn)BBG∥x軸,過(guò)點(diǎn)AAG∥y軸,交點(diǎn)為G,然后分若∠BAC=90°,則AB2+AC2=BC2;若∠ACB=90°,則AB2=AC2+BC2;若∠ABC=90°,則AB2+BC2=AC2三種情況求得m的值,從而確定點(diǎn)C的坐標(biāo);

(3)設(shè)M(a,a2),如圖2,設(shè)MPy軸交于點(diǎn)Q,首先在Rt△MQN中,由勾股定理得MN=a2+1,然后根據(jù)點(diǎn)P與點(diǎn)M縱坐標(biāo)相同得到x=,從而得到MN+3PM=-a2+3a+9,確定二次函數(shù)的最值即可.

解:∵點(diǎn)是直線與拋物線的交點(diǎn),且橫坐標(biāo)為,

,點(diǎn)的坐標(biāo)為

設(shè)直線的函數(shù)關(guān)系式為,

代入得,

解得,

∴直線,

∵直線與拋物線相交,

解得:,

當(dāng)時(shí),,

∴點(diǎn)的坐標(biāo)為;

如圖,過(guò)點(diǎn)軸,過(guò)點(diǎn)軸,交點(diǎn)為

,

∵由,可求得

設(shè)點(diǎn),同理可得

,

①若,則,即,

解得:

②若,則,即,

解得:;

③若,則,即

解得:

∴點(diǎn)的坐標(biāo)為,,,設(shè),如圖,設(shè)軸交于點(diǎn),

中,由勾股定理得,

又∵點(diǎn)與點(diǎn)縱坐標(biāo)相同,

∴點(diǎn)的縱坐標(biāo)為,

,

,

∴當(dāng),

又∵,

∴取到最小值,

∴當(dāng)的橫坐標(biāo)為時(shí),的長(zhǎng)度的最大值是

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2)拓展應(yīng)用:

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請(qǐng)用含的代數(shù)式表示長(zhǎng)方體盒子的底面積;

當(dāng)剪去的小正方形的邊長(zhǎng)為多少時(shí),其底面積是

試判斷折合而成的長(zhǎng)方體盒子的側(cè)面積是否有最大值?若有,試求出最大值和此時(shí)剪去的小正方形的邊長(zhǎng);若沒(méi)有,試說(shuō)明理由.

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