Question

已知，一張矩形紙片ABCD的邊長分別為9cm和3cm，把頂點(diǎn)A和C疊合在一起，得折痕EF（如圖）．
（1）猜想四邊形AECF是什么四邊形，并證明你的猜想；
（2）求折痕EF的長．

Answer 1

解：（1）菱形，理由如下：
∵四邊形ABCD為矩形，
∴AB∥CD，∠AFE=∠CEF．
∵矩形ABCD沿EF折疊，點(diǎn)A和C重合，
∴∠CEF=∠AEF，AE=CE
∴∠AFE=∠AEF，
∴AE=AF．
∴AF=CE，
又∵AF∥CE，
∴AECF為平行四邊形，
∵AE=EC，即四邊形AECF的四邊相等．
∴四邊形AECF為菱形．
（2）∵AB=9cm，BC=3cm，
∴AC=3cm，AF=CF
∴在Rt△BCF中，設(shè)BF=xcm，
則CF=（9﹣x）cm，
由勾股定理可得（9﹣x）²=x²+3²，
即18x=72，
解得x=4，
則CF=5，BF=4，
由面積可得：AC·EF=AF·BC
即3·EF=5×3
∴EF=cm．