Question

如圖，在坐標(biāo)系中，菱形ABCD的邊BC與x軸重合，點(diǎn)B與原點(diǎn)重合，AB=10，∠ABC=60°．動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)沿BC邊以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)的速度勻速運(yùn)動(dòng)；動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)D出發(fā)沿折線DC-CB-BA以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)的速度勻速運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)P作PF⊥BC，交折線AB-AC于點(diǎn)E，交直線AD于點(diǎn)F．若P、Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)整個(gè)運(yùn)動(dòng)隨之停止，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．
（1）寫(xiě)出點(diǎn)A與點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）當(dāng)t=3秒時(shí)，試判斷QE與AB之間的位置關(guān)系？
（3）當(dāng)Q在線段DC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，若△PQF為等腰三角形，求t的值；
（4）設(shè)△PQE的面積為S，求S與t的函數(shù)關(guān)系式．

Answer 1

考點(diǎn)：四邊形綜合題

專題：壓軸題

分析：（1）由AB=10，∠ABC=60°利用三角函數(shù)即可求得點(diǎn)A的坐標(biāo)，再根據(jù)四邊形ABCD是菱形，AD=AB=10，即可得點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）過(guò)A作AM∥EQ，得BE=6，AE=10-6=4，DM=3×3-4=5，DM=

1

2

AD，又因?yàn)椤螦DC=60°，所以∠AMD=90°，∠AEQ=90°，所以EQ⊥AB；
（3）P點(diǎn)坐標(biāo)為（t，0），F(xiàn)坐標(biāo)為（t，5

3

），Q（

30-3t

2

，

10 3 -3 3t

2

），再分三種情況討論；
（4）分0＜t≤

10

3

時(shí)，

10

3

＜t≤5時(shí)，5＜t≤6時(shí)，6＜t≤

20

3

，

20

3

＜t≤10，五種情況討論．

解答：解：（1）∵10×sin60°=5

3

，10×cos60°=5，
∴A（5，5

3

）．  
∵四邊形ABCD是菱形，AD=AB=10，
∴D（15，5

3

）；
（2）當(dāng)t=3時(shí)，EQ⊥AB，
過(guò)A作AM∥EQ，

∵BP=3時(shí)，∠B=60°，
∴BE=6，
∴AE=10-6=4，
∴AF=QM=4，
∴DM=3×3-4=5，
∴DM=

1

2

AD，
又∵∠ADC=60°，
∴∠AMD=90°，
∴∠AEQ=90°，
∴EQ⊥AB；
（3）P點(diǎn)坐標(biāo)為（t，0），F(xiàn)坐標(biāo)為（t，5

3

），Q（

30-3t

2

，

10 3 -3 3t

2

）
①當(dāng)FQ=PQ時(shí)，t=

5

3

；
②當(dāng)PF=FQ時(shí)，

(t- 30-3t 2 )2+(5 3 - 10 3 -3 3t 2 )2

=5

3

，該方程無(wú)解；
③當(dāng)PF=PQ時(shí)

(t- 30-3t 2 )2+(0- 10 3 -3 3t 2 )2

=5

3

，
∴t₁=

60+15 3

13

（舍），t₂=

60-15 3

13

，
∴當(dāng)t=

5

3

或

10

13

或

60-15 3

13

時(shí)，△PQF為等腰三角形；
（4）0＜t≤

10

3

時(shí)，
S=10×5

3

-

10-2t+3t

2

×5

3

-

t×2t•sin60°

2

-

(10-t)(10-3t)•sin60°

2

=-

5 3

4

t2+

15 3

2

t，

10

3

＜t≤5時(shí)，
S=

10×5 3

2

-

t×2tוsin60°

2

-

(10-t)(3t-10)×sin60°

2

-

(10-2t)(20-3t)×sin60°

2

=

5 3

4

t2+

15 3

2

t+25

3

5＜t≤6時(shí)，
S=

(10-t)(20-2t)×sin60°

2

×

20-2t(3t-10)

20-2t

=

5 3

4

t2-20

3

t+75

3

6＜t≤

20

3

，
S=

(10-2t)(3t-10)×sin60°

2

-

(10-t)(3t-10)

20-2t

×sin60°=2

3

t2+

45 3

2

t-75

3

20

3

＜t≤10，
S=

50 3

2

-

(10-t)(20-2t)sin60°

2

-

(3t-20)(2t-10)sin60°

2

-

(30-3t)t×sin60°

2

=-

3

4

t2+25

3

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了菱形的性質(zhì)，三角函數(shù)的應(yīng)用，點(diǎn)的坐標(biāo)．以及動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的函數(shù)和分類討論思想，綜合性較強(qiáng)比較難．