Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，點(diǎn)M是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P從點(diǎn)M出發(fā)沿MB以每秒1個(gè)單位的速度向點(diǎn)B勻速運(yùn)動，到達(dá)點(diǎn)B后立刻以原速度沿BM返回；同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)M出發(fā)以每秒1個(gè)單位長的速度在射線MC上勻速運(yùn)動，在點(diǎn)P，Q的運(yùn)動過程中，以PQ為邊作正方形PQEF，使它與矩形ABCD在BC的同側(cè)，點(diǎn)P，Q同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)P返回點(diǎn)M時(shí)，則兩點(diǎn)停止運(yùn)動，設(shè)點(diǎn)P，Q運(yùn)動的時(shí)間是t秒（t＞0）．

（1）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到BM的中點(diǎn)時(shí)，t=　 　；

（2）設(shè)正方形PQEF與矩形ABCD重疊部分的面積為S，直接寫出S與t之間的函數(shù)關(guān)系式及t的取值范圍；

（3）連結(jié)AC，當(dāng)正方形PQEF與△ADC重疊部分為三角形時(shí)，求t的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）1或3；（2）①S=4t2；②S=6t；③S=﹣3t+18；（3）＜t≤或t=2

【解析】分析：（1）求出BM=BC=2，當(dāng)點(diǎn)P第一次運(yùn)動到BM的中點(diǎn)時(shí)，PM=BM=1，得出t=1；當(dāng)點(diǎn)P第二次運(yùn)動到BM的中點(diǎn)時(shí)，運(yùn)動的路程=3，得出t=3即可；
（2）分為三種情況：①當(dāng)0<t≤1.5時(shí)，PQ=2t，由正方形面積公式即可得出答案；
②當(dāng)1.5<t≤2時(shí)得出PQ=2t，AB=3，由矩形面積即可得出答案；
③當(dāng)2<t≤4時(shí)，求出PC=6-t，AB=3，由矩形面積即可得出答案；
（3）當(dāng)點(diǎn)E在AC上時(shí)，得出△CEQ∽△CAB，得出對應(yīng)邊成比例，即可得出t的值；當(dāng)F在AC上時(shí)，△CPF∽△CBA，得出對應(yīng)邊成比例，即可得出t的值；當(dāng)點(diǎn)F在EA的延長線上時(shí)，點(diǎn)E在CD的延長線上，此時(shí)t=2；即可得出答案．

詳解：（1）∵BC=4，點(diǎn)M是BC的中點(diǎn)，

∴BM=BC=2，

當(dāng)點(diǎn)P第一次運(yùn)動到BM的中點(diǎn)時(shí)，PM=BM=1，

∴t=1；

當(dāng)點(diǎn)P第二次運(yùn)動到BM的中點(diǎn)時(shí)，運(yùn)動的路程=2+1=3，

∴t=3；

故答案為：1或3；

（2）分為三種情況：

①如圖1，當(dāng)0＜t≤1.5時(shí)，

∵PQ=2t，

∴S=（2t）2，

∴S=4t2；

②如圖2，

當(dāng)1.5＜t≤2時(shí)，

∵PQ=2t，AB=3，

∴S=6t；

③如圖3，

當(dāng)2＜t≤4時(shí)，

∵PC=6﹣t，AB=3，

∴S=﹣3t+18；

（3）如圖4，

當(dāng)點(diǎn)E在AC上時(shí)，

∵△CEQ∽△CAB，

∴，

∴，

∴t=，

當(dāng)F在AC上時(shí)，

∵△CPF∽△CBA，

∴，

∴，

∴t=；當(dāng)點(diǎn)F在EA的延長線上時(shí)，點(diǎn)E在CD的延長線上，此時(shí)t=2；

∴t的取值范圍是＜t≤或t=2．