Question

17．如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，D為AC上一點(diǎn)，DE⊥AB于點(diǎn)E，AC=12，BC=5．
（1）求cos∠ADE的值；
（2）當(dāng)DE=DC時(shí)，求AD的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)三角形的內(nèi)角和得到∠A+∠ADE=90°，∠A+∠B=90°，根據(jù)余角的性質(zhì)得到∠ADE=∠B，根據(jù)勾股定理得到AB=13，由三角函數(shù)的定義即可得到結(jié)論；
（2）由（1）得$cos∠ADE=\frac{DE}{AD}=\frac{5}{13}$，設(shè)AD為x，則$DE=DC=\frac{5}{13}x$，由于AC=AD+CD=12，列方程即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）∵DE⊥AB，
∴∠DEA=90°，
∴∠A+∠ADE=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠A+∠B=90°，
∴∠ADE=∠B，
在Rt△ABC中，∵AC=12，BC=5，
∴AB=13，
∴$cosB=\frac{BC}{AB}=\frac{5}{13}$，
∴$cos∠ADE=cosB=\frac{5}{13}$；

（2）由（1）得$cos∠ADE=\frac{DE}{AD}=\frac{5}{13}$，
設(shè)AD為x，則$DE=DC=\frac{5}{13}x$，
∵AC=AD+CD=12，
∴$\frac{5}{13}x+x=12$，
解得$x=\frac{26}{3}$，
∴$AD=\frac{26}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了解直角三角形，正確掌握解直角三角形的方法是解題的關(guān)鍵．