Question

如圖，有一批形狀大小相同的不銹鋼片，呈直角三角形，已知∠C=90°，AB=5cm，BC=3cm，試設(shè)計一種方案，用這批不銹鋼片裁出面積達最大的正方形不銹鋼片，并求出這種正方形不銹鋼片的邊長．

Answer 1

分析：要在三角形內(nèi)裁出面積最大的正方形，那么這正方形所有頂點應(yīng)落在△ABC的邊上，先畫出不同方案，把每種方案中的正方形邊長求出．
當(dāng)正方形兩邊在直角三角形上時，易得△BED∽△BAC，利用對應(yīng)邊成比例可得正方形的邊長；
當(dāng)正方形的一邊在直角三角形上時，易得△CSR∽△CAB，利用對應(yīng)邊的比等于對應(yīng)高的比可得正方形的邊長，比較即可．

解答：解：（1）∵ED∥AC，
∴△BED∽△BAC，
設(shè)正方形CDEF的邊長為x，則有

x

4

=

3-x

3

，
解得x=

12

7

cm；

（2）∵SR∥AB，
∴△CSR∽△CBA，
設(shè)正方形PQRS的邊長為y，作CN⊥NB于N交RS于M，而知CN=

12

5

cm，
同樣有

12 5 -y

12 5

=

y

5

，
解得y=

60

37

（cm），
x-y=

12

7

-

60

37

=

444-420

7×37

＞0，故x＞y，
∴面積達最大的正方形不銹鋼片的邊長為

12

7

cm．

點評：考查相似三角形的應(yīng)用；用到的知識點為：平行于三角形一邊的直線與三角形另兩邊相交，截得的兩三角形相似；相似三角形的對應(yīng)邊成比例；對應(yīng)高的比等于相似比．