Question

19．如圖，已知線段AB，P是線段AB上任意一點（不與點A、B重合），分別以AP、BP為邊，在AB的同側作等邊△APD和△BPC，連接BD與PC交于點點E，連接CD．

（1）當BC⊥CD時，試求∠DBC的正切值；
（2）若CD²=DE•DB，求證：DC=BE；
（3）記四邊形ABCD的面積為S，當P在線段AB上運動時，S與BD²是否成正比例？若成正比例，試求出比例系數(shù)；若不成正比例，試說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出PC=BC，∠CPD=60°，PD∥BC，進而得出∠DBC的正切值等于$\frac{CD}{BC}=\frac{CD}{PC}$，即可得出答案；
（2）利用線段CD是線段DE和DB的比例中項得出△DCE∽△DBC，再利用相似三角形的性質(zhì)得出即可；
（3）由AD∥PC，PD∥BC，得出$\frac{{S}_{△APD}}{{S}_{△PDC}}=\frac{AD}{PC}$，$\frac{{S}_{△PDC}}{{S}_{△BPC}}=\frac{PD}{BC}$，進而得出$\frac{{S}_{△APD}}{{S}_{△PDC}}=\frac{{S}_{△PDC}}{{S}_{△BPC}}$，以及$\frac{S}{B{D}^{2}}=\frac{\sqrt{3}}{4}$，即可得出比例系數(shù)．

解答 解：（1）∵等邊△APD和△BPC，
∴PC=BC，∠CPD=60°，∠DPA=∠CBP=60°，
∴PD∥BC，
∴∠DPC=∠PCB=60°，
∵BC⊥CD，
∴∠DCB=∠PDC=90°，
∴∠DCP=30°，
∴tan∠DBC=$\frac{CD}{BC}=\frac{CD}{PC}=cos30°=\frac{\sqrt{3}}{2}$；
（2）由已知，CD²=DE•DB，
即$\frac{DE}{CD}=\frac{CD}{DB}$，
又∵∠CDE=∠CDE，
∴△DCE∽△DBC，
∴$\frac{DE}{CD}=\frac{CD}{DB}=\frac{CE}{BC}$，
又∵CP=BC，$\frac{CE}{BC}=\frac{CE}{CP}$，
∵PD∥BC，
∴$\frac{CE}{CP}=\frac{BE}{BD}$，
∴$\frac{CD}{DB}=\frac{CE}{CP}=\frac{BE}{BD}$，
∴CD=BE；
（3）設AP=a，PB=b，
∴${S}_{△APD}=\frac{\sqrt{3}}{4}{a}^{2}，{S}_{△BPC}=\frac{\sqrt{3}}{4}^{2}$，
因為AD∥PC，PD∥BC，
∴$\frac{{S}_{△APD}}{{S}_{△PDC}}=\frac{AD}{PC}$，$\frac{{S}_{△PDC}}{{S}_{△BPC}}=\frac{PD}{BC}$，
∴$\frac{{S}_{△APD}}{{S}_{△PDC}}=\frac{{S}_{△PDC}}{{S}_{△BPC}}$，
∴${S}_{△PDC}=\sqrt{{S}_{△APD}•{S}_{△BPC}}=\frac{\sqrt{3}}{4}ab$，
∴$S=\frac{\sqrt{3}}{4}（{a}^{2}+ab+^{2}）$，
作DH⊥AB，
則$DH=\frac{\sqrt{3}}{2}a，BH=\frac{1}{2}a+b$，
∴BD²=DH²+BH²=（$\frac{\sqrt{3}}{2}$a）²+（$\frac{1}{2}$a+b）²=a²+ab+b²，
∴$\frac{S}{B{D}^{2}}=\frac{\sqrt{3}}{4}$，
∴S與BD²成正比例，比例系數(shù)為$\frac{\sqrt{3}}{4}$．

點評 此題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練利用相似三角形的性質(zhì)得出對應邊之間關系是解題關鍵．