Question

16．已知拋物線C₁：y=x²+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（-1，3），B（3，3）
（1）求拋物線C₁的表達(dá)式及頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）若拋物線C₂：y=ax²（a≠0）與線段AB恰有一個(gè)公共點(diǎn)，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）直接把A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)代入y=x²+bx+c得到關(guān)于b、c的方程組，然后解方程組求出b、c即可得到拋物線C₁的解析式，再把解析式配成頂點(diǎn)式可的拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）由于AB∥x軸，把A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)代入y=ax²可計(jì)算出對(duì)應(yīng)的a的值，然后根據(jù)拋物線C₂：y=ax²（a≠0）與線段AB恰有一個(gè)公共點(diǎn)可確定a的范圍．

解答 解：（1）將A（-1，3）、B（3，3）代入y=x+bx+c得$\left\{\begin{array}{l}{1-b+c=3}\\{9+3b+c=3}\end{array}\right.$，解得b=-2，c=0，
所以拋物線C₁的解析式為y=x²-2x；
∵y=x²-2x=（x-1）²-1
∴拋物線C₁的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，-1）；
（2）當(dāng)拋物線C₂恰好經(jīng)過(guò)A點(diǎn)時(shí)，將A（-1，3）代入y=ax²得a=3，
當(dāng)拋物線C₂恰好過(guò)經(jīng)過(guò)B點(diǎn)，將B（3，3）代入y=ax²得9a=3，解得a=$\frac{1}{3}$，
所以a的取值范圍為$\frac{1}{3}$≤a＜3．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式：在利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)關(guān)系式時(shí)，要根據(jù)題目給定的條件，選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄔO(shè)出關(guān)系式，從而代入數(shù)值求解．一般地，當(dāng)已知拋物線上三點(diǎn)時(shí)，常選擇一般式，用待定系數(shù)法列三元一次方程組來(lái)求解；當(dāng)已知拋物線的頂點(diǎn)或?qū)ΨQ軸時(shí)，常設(shè)其解析式為頂點(diǎn)式來(lái)求解；當(dāng)已知拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，可選擇設(shè)其解析式為交點(diǎn)式來(lái)求解．也考查了二次函數(shù)的性質(zhì)．