Question

2．如圖，正方形ABCD中，E為AB邊上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥DE，與BC延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F．連接EF，與CD邊交于點(diǎn)G，與對(duì)角線BD交于點(diǎn)H．
（1）若正方形邊長(zhǎng)為1，BF=BD，求AE的長(zhǎng)；
（2）若∠ADE=2∠BFE，求證：FH=HE+HD．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)正方形的性質(zhì)和勾股定理得出BF=BD=$\sqrt{2}$，由DF⊥DE，易證得△ADE≌△CDF，即可求得BE的長(zhǎng)；
（2）首先在FE上截取一段FI，使得FI=EH，由△ADE≌△CDF，易證得△DEH≌△DFI，即可得DH=DI，又由∠ADE=2∠BFE，易證得△DHI為等邊三角形，即可得DH=HI，繼而可得FH=HE+HD．

解答 （1）解：∵四邊形ABCD正方形，
∴∠BCD=90°，BC=CD=1，∴BF=BD=$\sqrt{{1}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{2}$，
∵DF⊥DE，
∴∠ADE+∠EDC=90°=∠EDC+∠CDF，
∴∠ADE=∠CDF，
在△ADE和△CDF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠ADE=∠CDF}&{\;}\\{AD=DC}&{\;}\\{∠A=∠DCF=90°}&{\;}\end{array}\right.$，
∵∴△ADE≌△CDF（ASA），
∴AE=CF=BF-BC=$\sqrt{2}$-1，
∴BE=AB-AE=1-（$\sqrt{2}$-1）=2-$\sqrt{2}$；
（2）證明：在FE上截取一段FI，使得FI=EH，連接DI，如圖所示：
∵△ADE≌△CDF，
∴DE=DF，
∴△DEF為等腰直角三角形，
∴∠DEF=∠DFE=45°=∠DBC，
∵∠DHE=∠BHF，
∴∠EDH=∠BFH（三角形的內(nèi)角和定理），
在△DEH和△DFI中，$\left\{\begin{array}{l}{DE=DF}&{\;}\\{∠DEH=∠DFI}&{\;}\\{EH=FI}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△DEH≌△DFI（SAS），
∴DH=DI，
又∵∠HDE=∠BFE，∠ADE=2∠BFE，
∴∠HDE=∠BFE=$\frac{1}{2}$∠ADE，
∵∠HDE+∠ADE=45°，
∴∠HDE=15°，
∴∠DHI=∠DEH+∠HDE=60°，
即△DHI為等邊三角形，
∴DH=HI，
∴FH=FI+HI=HE+HD．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)以及等邊三角形的判定與性質(zhì)．此題綜合性較強(qiáng)，難度較大，注意掌握輔助線的作法，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．