Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A（

3

，1）關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為C，AC與x軸交于點(diǎn)B，將△OCB沿OC翻折后，點(diǎn)B落在點(diǎn)D處．
（1）求點(diǎn)C、D的坐標(biāo)；
（2）求經(jīng)過O、D、B三點(diǎn)的拋物線的解析式；
（3）若拋物線的對(duì)稱軸與OC交于點(diǎn)E，點(diǎn)P為線段OC上一點(diǎn)，過點(diǎn)P作y軸的平行線，交拋物線于點(diǎn)Q．
①當(dāng)四邊形EDQP為等腰梯形時(shí)，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；
②當(dāng)四邊形EDQP為平行四邊形時(shí)，直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）由于A、C關(guān)于x軸對(duì)稱，則它們的橫坐標(biāo)相同，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)，由此可求得C點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而可求得OB、BC的長以及∠BOC的度數(shù)，由于△OCD是由△OCB翻折所得，故∠COD=∠COB，OB=OD，如果過D分別作x軸、y軸的垂線，設(shè)垂足為M、N，即可求得∠NOD的度數(shù)，在Rt△OND中，通過解直角三角形，即可求得點(diǎn)D的坐標(biāo)．
（2）已求得B、D的坐標(biāo)，用待定系數(shù)法求解即可．
（3）根據(jù)（2）題所得拋物線的解析式可知點(diǎn)D即為拋物線的頂點(diǎn)，那么只需DE就是拋物線的對(duì)稱軸；在（1）題中求得∠OCB=∠OCD=60°，根據(jù)D點(diǎn)的坐標(biāo)知∠DOC=∠ODM=30°，那么∠MDC=60°，即△CDE為等邊三角形，由此可求得DE=OE=CE=1；
①若四邊形EDQP是等腰梯形，那么點(diǎn)P在線段CE上，由于∠CDE=∠CED=60°，且P在CE上，若四邊形EDQP是等腰梯形，那么點(diǎn)Q必在線段CD上，即Q為直線CD與拋物線的交點(diǎn)，由此可求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，將其橫坐標(biāo)代入直線OC的解析式中，即可求得點(diǎn)P的坐標(biāo)；
②若四邊形EDQP是平行四邊形，那么點(diǎn)P必在線段OE上，此時(shí)PQ=DE=1，而PQ為直線OC與拋物線函數(shù)值的差，由此可列出關(guān)于點(diǎn)P橫坐標(biāo)的方程，進(jìn)而可求得點(diǎn)P的坐標(biāo)．

解答：解：（1）∵點(diǎn)A（

3

，1）關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為C，AC與x軸交于點(diǎn)B，
∴AC⊥x軸于B，B（

3

，0），C（

3

，-1）．
∴BC=AB=1，OB=

3

．
∴OC=2，∠1=30°，∠3=60°，
由題意知：∠2=∠1=30°，OD=OB=

3

，
∴∠NOD=30°．
過點(diǎn)D作DM⊥x軸于M，DN⊥y軸于N，
在Rt△OND中，DN=

1

2

OD=

3

2

，ON=

3

DN=

3

2

．
由矩形ONDM得：OM=DN=

3

2

．
∵點(diǎn)D在第四象限，
∴D（

3

2

，-

3

2

）．

（2）設(shè)經(jīng)過O、D、B三點(diǎn)的拋物線的解析式為：y=ax²+bx．
依題意，得：

3 4 a+ 3 2 b=- 3 2 3a+ 3 b=0

，
解得

a=2 b=-2 3

；
∴此拋物線的解析式為：y=2x²-2

3

x．

（3）∵y=2x²-2

3

x=2（x-

3

2

）²-

3

2

，
∴點(diǎn)D為拋物線的頂點(diǎn)．
∴直線DM為拋物線的對(duì)稱軸，交OC于E，由題意可知：∠4=∠3=60°，∠ODC=90°；
∴∠OEM=60°，
∴∠6=60°，
∴∠7=60°，
∴△EDC是等邊三角形，∠8=30°．
∴CE=DE=OE=

1

2

OC=1．
①當(dāng)點(diǎn)P₁在EC上時(shí)，四邊形EDQ₁P₁為等腰梯形．
∵DM∥y∥P₁Q₁，EP₁與DQ₁不平行，
∴四邊形EDQ₁P₁為梯形．
要使梯形EDQ₁P₁為等腰梯形，只需滿足∠EDQ₁=∠6=60°．
∵∠7=60°，
∴點(diǎn)Q₁在DC上．
由C（

3

，-1）、D（

3

2

，-

3

2

）求得直線CD的解析式為y=

3

3

x-2．
又∵點(diǎn)Q₁在拋物線上，
∴2x²-2

3

x=

3

3

x-2，
解得x₁=

2 3

3

，x₂=

3

2

（與點(diǎn)D重合，舍去）；
∴點(diǎn)P₁的橫坐標(biāo)為

2 3

3

．
由（0，0）、C（

3

，-1）求得直線OC的解析式為y=-

3

3

x．
∵點(diǎn)P₁在OC上，
∴y=-

3

3

×

2 3

3

=-

2

3

，
即P₁（

2 3

3

，-

2

3

）．
②當(dāng)點(diǎn)P₂在OE上時(shí)，四邊形EDQ₂P₂為平行四邊形，此時(shí)P₂點(diǎn)坐標(biāo)為P₂（

3

3

，-

1

3

）．
綜上所述：當(dāng)P₁（

2 3

3

，-

2

3

）時(shí)，EDQ₁P₁為等腰梯形；
當(dāng)P₂（

3

3

，-

1

3

）時(shí)，EDQ₂P₂為平行四邊形．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特征、圖形的翻折變換、二次函數(shù)解析式的確定、等腰梯形及平行四邊形的判定等知識(shí)，綜合性強(qiáng)，難度偏大．