Question

如圖，四邊形ABCD中，AB=AC=AD，E是BC的中點(diǎn)，AE=CE，∠BAC=3∠CBD，BD=，則AB=    ．

Answer 1

【答案】分析：作DF⊥BC于F，根據(jù)題意判斷出△ABC是等腰直角三角形，求出∠CBD的度數(shù)，進(jìn)而判斷出△ACD是等邊三角形，設(shè)AB=a，在Rt△BDF中利用直角三角形的性質(zhì)求出DF的長(zhǎng)，用a表示出CF的長(zhǎng)，再根據(jù)勾股定理即可得出a的值，進(jìn)而得出答案．
解答：解：作DF⊥BC于F，
∵AB=AC=AD，E是BC的中點(diǎn)，
∴AE⊥BC，
∵AE=CE，BE=EC，
∴∠BAC=90°，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∵∠BAC=3∠CBD，
∴∠DBC=30°，∠ABD=15°，
∴∠BAD=180°-15°-15°=150°，
∵∠BAC=90°，
∴∠CAD=60°，
∵AC=AD，
∴△ACD是等邊三角形，
∴AB=AC=AD=CD，
設(shè)AB=a，則BC=a，AC=AD=CD=a，
在Rt△BDF中，
∵∠DBF=30°，BD=，
∴DF==3+3，BF=BD•cos∠CBD=（6+6）×=3+9，
∴CF=BF-BC=3+9-a，
在Rt△CDF中，
CF²+DF²=CD²，即（3+9-a）²+（3+3）²=a²，解得a=12．
故答案為：12．
點(diǎn)評(píng)：本題考查的是等腰直角三角形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)及含30度角的直角三角形的性質(zhì)，解答此題的關(guān)鍵是作出輔助線，構(gòu)造出含30度角的直角三角形，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)進(jìn)行解答．