Question

【題目】【探究證明】某班數學課題學習小組對矩形內兩條互相垂直的線段與矩形兩鄰邊的數量關系進行探究，提出下列問題，請你給出證明．
（1）某班數學課題學習小組對矩形內兩條互相垂直的線段與矩形兩鄰邊的數量關系進行探究，提出下列問題，請你給出證明．
如圖1，矩形ABCD中，EF⊥GH，EF分別交AB，CD于點E，F，GH分別交AD，BC于點G，H．求證： = ；

（2）【結論應用】如圖2，在滿足（1）的條件下，又AM⊥BN，點M，N分別在邊BC，CD上，若 = ，則 的值為；

（3）【聯(lián)系拓展】如圖3，四邊形ABCD中，∠ABC=90°，AB=AD=10，BC=CD=5，AM⊥DN，點M，N分別在邊BC，AB上，求 的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：過點A作AP∥EF，交CD于P，過點B作BQ∥GH，交AD于Q，如圖1，

∵四邊形ABCD是矩形，∴AB∥DC，AD∥BC．

∴四邊形AEFP、四邊形BHGQ都是平行四邊形，

∴AP=EF，GH=BQ．

又∵GH⊥EF，∴AP⊥BQ，

∴∠QAT+∠AQT=90°．

∵四邊形ABCD是矩形，∴∠DAB=∠D=90°，

∴∠DAP+∠DPA=90°，

∴∠AQT=∠DPA．

∴△PDA∽△QAB，

∴ = ，

∴ = ；

（2）
（3）解：過點D作平行于AB的直線，交過點A平行于BC的直線于R，交BC的延長線于S，如圖3，

則四邊形ABSR是平行四邊形．

∵∠ABC=90°，∴ABSR是矩形，

∴∠R=∠S=90°，RS=AB=10，AR=BS．

∵AM⊥DN，

∴由（1）中的結論可得 = ．

設SC=x，DS=y，則AR=BS=5+x，RD=10﹣y，

∴在Rt△CSD中，x2+y2=25①，

在Rt△ARD中，（5+x）2+（10﹣y）2=100②，

由②﹣①得x=2y﹣5③，

解方程組 ，得

（舍去），或 ，

∴AR=5+x=8，

∴ = = = ．

【解析】（2）解：如圖2，

∵EF⊥GH，AM⊥BN，

∴由（1）中的結論可得 = ， = ，

∴ = = ．

所以答案是 ；

【考點精析】本題主要考查了勾股定理的概念和平行四邊形的判定與性質的相關知識點，需要掌握直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2；若一直線過平行四邊形兩對角線的交點，則這條直線被一組對邊截下的線段以對角線的交點為中點，并且這兩條直線二等分此平行四邊形的面積才能正確解答此題．