Question

【題目】如圖，以△ABC的三邊為邊，在BC的同側分別作3個等邊三角形，即△ABD、△BCE、△ACF．

（1）求證：四邊形ADEF是平行四邊形？

（2）當△ABC滿足什么條件時，四邊形ADEF是矩形，并說明理由．

（3）當△ABC滿足什么條件時，邊形ADEF是菱形，并說明理由．

（4）當△ABC滿足什么條件時，四邊形ADEF是正方形，不要說明理由．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）當∠BAC=150°時，四邊形ADEF是矩形；（3）AB=AC時，四邊形ADEF是菱形；（4）∠BAC=150°時，四邊形ADEF是正方形．

【解析】

試題分析：（1）可先證明△ABC≌△DBE，可得DE=AC，又有AC=AF，可得DE=AF，同理可得AD=EF，根據(jù)兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形，可證四邊形ADEF是平行四邊形；

（2）如四邊形ADEF是矩形，則∠DAF=90°，又有∠BAD=∠FAC=60°，可得∠BAC=150°，故∠BAC=150°時，四邊形ADEF是矩形；

（3）若四邊形ADEF是菱形，則AD=AF，所以AB=AC，則△ABC是等腰三角形；

（4）若四邊形ADEF是正方形，則AD=AF，且∠DAF=90°，所以△ABC是等腰三角形，且∠BAC=150°．

證明：（1）∵△ABD，△BCE都是等邊三角形，

∴∠DBE=∠ABC=60°﹣∠ABE，AB=BD，BC=BE．

在△ABC與△DBE中，

，

∴△ABC≌△DBE（SAS）．

∴DE=AC．

又∵AC=AF，

∴DE=AF．

同理可得EF=AD．

∴四邊形ADEF是平行四邊形．

（2）∵四邊形ADEF是平行四邊形，

∴當∠DAF=90°時，四邊形ADEF是矩形，

∴∠FAD=90°．

∴∠BAC=360°﹣∠DAF﹣∠DAB﹣∠FAC=360°﹣90°﹣60°﹣60°=150°．

則當∠BAC=150°時，四邊形ADEF是矩形；

（3）∵四邊形ADEF是平行四邊形，

∴當AD=AF時，四邊形ADEF是菱形，

又∵AD=AB，AF=AC，

∴AB=AC時，四邊形ADEF是菱形；

（4）綜合（2）、（3）知，當△ABC是等腰三角形，且∠BAC=150°時，四邊形ADEF是正方形．