Question

12．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是邊AB上的高．
（1）求證：△ABC∽△CBD；
（2）如果AC=4，BC=3，求BD的長．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)相似三角形的判定，由已知可證∠A=∠DCB，又因為∠ACB=∠BDC=90°，即證△ABC∽△CBD，
（2）根據(jù)勾股定理得到AB=5，根據(jù)三角形的面積公式得到CD=$\frac{AC•BC}{AB}=\frac{12}{5}$，然后根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論．

解答 （1）證明：∵CD⊥AB，
∴∠BDC=90°．
∴∠A+∠ACD=90°．
∵∠ACB=90°，
∴∠DCB+∠ACD=90°．
∴∠A=∠DCB．
又∵∠ACB=∠BDC=90°，
∴△ABC∽△CBD；

（2）解：∵∠ACB=90°，AC=4，BC=3，
∴AB=5，
∴CD=$\frac{AC•BC}{AB}=\frac{12}{5}$，
∵CD⊥AB，
∴BD=$\sqrt{B{C}^{2}-C{D}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}-（\frac{12}{5}）^{2}}$=$\frac{9}{5}$．

點評 本題考查了相似三角形的判定，解直角三角形，熟練掌握相似三角形的判定定理是解題的關鍵．