Question

24、如圖，已知：在四邊形ABFC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分線EF交BC于點(diǎn)D，交AB于點(diǎn)E，且CF=AE．
（1）試探究，四邊形BECF是什么特殊的四邊形？
（2）當(dāng)∠A的大小滿足什么條件時(shí)，四邊形BECF是正方形？請(qǐng)回答并證明你的結(jié)論．（特別提醒：表示角最好用數(shù)字）

Answer 1

分析：（1）根據(jù)中垂線的性質(zhì)：中垂線上的點(diǎn)到線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等，有BE=EC，BF=FC，又因?yàn)镃F=BE，BE=EC=BF=FC，根據(jù)菱形的概念：有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形，所以四邊形BECF是菱形；
（2）由菱形的性質(zhì)知，對(duì)角線平分一組對(duì)角，即當(dāng)∠ABC=45°時(shí)，∠EBF=90°，有菱形為正方形，根據(jù)直角三角形中兩個(gè)角銳角互余得，∠A=45度．

解答：解：（1）四邊形BECF是菱形．
證明：EF垂直平分BC，
∴BF=FC，BE=EC，
∴∠1=∠2，
∵∠ACB=90°，
∴∠1+∠4=90°，∠3+∠2=90°，
∴∠3=∠4，
∴EC=AE，
∴BE=AE，
∵CF=AE，
∴BE=EC=CF=BF，
∴四邊形BECF是菱形．

解：（2）當(dāng)∠A=45°時(shí)，菱形BECF是正方形．
證明：∵∠A=45°，∠ACB=90°，
∴∠1=45°，
∴∠EBF=2∠A=90°，
∴菱形BECF是正方形．

點(diǎn)評(píng)：本題利用了：菱形的判定和性質(zhì)及中垂線的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)．