Question

（1999•南京）如圖1，⊙O₁和⊙O₂內(nèi)切于點(diǎn)P，⊙O₂的弦BE與⊙O₁相切于C，PB交⊙O₁于D，PC的延長(zhǎng)線交⊙O₂于A，連接AB，CD，PE．
（1）求證：①∠BPA=∠EPA；②；
（2）若⊙O₁的切線BE經(jīng)過(guò)⊙O₂的圓心，⊙O₁、⊙O₂的半徑分別是r、R，其中R≥2r，如圖2，求證：PC•AC是定值．

Answer 1

【答案】分析：（1）①過(guò)點(diǎn)P作兩圓公切線MN．根據(jù)弦切角定理，發(fā)現(xiàn)平行線CD∥AB．再結(jié)合平行線的性質(zhì)和弦切角定理進(jìn)一步證明∠ABC=∠BCD=∠BPA，根據(jù)圓周角定理的推論得到∠ABC=∠EPA，從而證明結(jié)論；
②首先根據(jù)兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等證明△ABC∽△APB，得到；再根據(jù)CD∥AB，得到，從而再根據(jù)比例的性質(zhì)進(jìn)行變形即可證明結(jié)論；
（2）連接O₁C，PO₂．根據(jù)相交弦定理，得PC•AC=EC•BC，只需求得EC、BC的長(zhǎng)．則關(guān)鍵是求得CO₂的長(zhǎng)，根據(jù)切線的性質(zhì)發(fā)現(xiàn)Rt△CO₁O₂，根據(jù)兩圓內(nèi)切，則圓心距等于兩圓的半徑之差，從而根據(jù)勾股定理求得CO₂的長(zhǎng)，此題則迎刃而解．
解答：證明：（1）①過(guò)點(diǎn)P作兩圓公切線MN．
則∠MPB=∠PCD=∠A．
∴CD∥AB．
∴∠ABC=∠BCD．
∵BC是⊙O₁的切線，
∴∠BCD=∠BPA．
∵∠ABC=∠EPA，
∴∠BPA=∠EPA．
②∵∠ABC=∠BPA，∠A=∠A，
∴△ABC∽△APB．
∴，
∴．
∵CD∥AB，
∴．
即．

（2）連接O₁C，PO₁．
則PO₂經(jīng)過(guò)點(diǎn)O₁，且O₁C=r，O₁O₂=R-r．
∵BE與⊙O₁相切，
∴O₁C⊥BE．
在Rt△CO₁O₂中，
CO₂==，
∴BC=BO₂+CO₂=R+．
EC=EO₂-CO₂=R-．
∵PC•AC=EC•BC=2Rr．
∴PC•AC是定值．
點(diǎn)評(píng)：熟悉相切兩圓的性質(zhì)：兩圓內(nèi)切，則圓心距等于兩圓半徑之差；兩圓外切，則圓心距等于兩圓半徑之和；兩圓相切，切點(diǎn)一定在連心線上．
兩圓內(nèi)切時(shí)，作兩圓的外公切線是常見(jiàn)的輔助線之一．利用弦切角定理可以把兩個(gè)圓中的有關(guān)角聯(lián)系起來(lái)．
掌握?qǐng)A中的重要定理：圓周角定理及其推論、弦切角定理、相交弦定理、切線的性質(zhì)定理．