Question

如圖，△ABC是等腰直角三角形，其中CA=CB，四邊形CDEF是正方形，連結AF、BD.
(1)觀察圖形，猜想AF與BD之間有怎樣的關系，并證明你的猜想；
(2)若將正方形CDEF繞點C按順時針方向旋轉，使正方形CDEF的一邊落在△ABC的內部，請你畫出一個變換后的圖形，并對照已知圖形標記字母，題(1)中猜想的結論是否仍然成立？若成立，直接寫出結論，不必證明；若不成立，請說明理由.

Answer 1

（1）猜想：AF=BD且AF⊥BD.
　　　 證明：設AF與DC交點為G.
　　　 ∵FC=DC，AC=BC，∠BCD=∠BCA+∠ACD，
　　　 ∠ACF=∠DCF+∠ACD，∠BCA=∠DCF=90°，
　　 　∴∠BCD=∠ACF.
　　 　∴△ACF≌△BCD.
　　　 ∴AF=BD.，∠AFC=∠BDC.
　　　 ∵∠AFC+∠FGC="90°," ∠FGC=DGA，
　　 　∴∠BDC+∠DGA=90°.
　　 　∴AF⊥BD.
　　 　∴AF=BD且AF⊥BD.
　　 　(2)如圖，結論：AF=BD且AF⊥BD.
圖形不惟一，只要符合要求即可．
如：圖1中CD邊在△ABC的內部；圖2中CF邊在△ABC的內部.

一般線段的關系有數量關系和位置關系，此題AF與DB的關系是AF=BD且AF⊥BD，要證明它們可以利用等腰直角三角形性質和正方形的性質構造全等條件證明△ACF≌△BCD，然后利用全等三角形的性質可以解決題目的問題．