Question

20．已知：如圖1，在正方形ABCD，E是BC邊上一點(diǎn)，F(xiàn)是CD的中點(diǎn)，且AE=DC+CE．求證：AF平分∠DAE．
證法一：延長(zhǎng)EF，交AD的延長(zhǎng)線于G．（如圖2）
證法二：延長(zhǎng)BC，交AF的延長(zhǎng)線于G．（如圖3）

Answer 1

分析 證法一：由ASA證明△ADF≌△GCF，得出DG=CE，GF=EF，由已知條件得出AE=AG，由等腰三角形的三線合一性質(zhì)即可得出結(jié)論；
證法二：由ASA證明△ADF≌△GCF，得出AD=CG，∠DAF=∠G，根據(jù)AE=AD+CE，得等腰三角形AEG，得出∠DAF=∠G=∠FAE即可．

解答 證明：證法一：
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AD=DC，∠ADC=∠C=90°，
∴∠FDG=90°，
∵F是CD的中點(diǎn)，
∴DF=CF，
在△ADF和△GCF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠FDG=∠C}&{\;}\\{DF=CF}&{\;}\\{∠DFG=∠CFE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ADF≌△GCF（ASA），
∴DG=CE，GF=EF，
∵AE=DC+CE，AG=AD+DG，
∴AE=AG，
∴AF平分∠DAE（三線合一）．
證法二：
在△ADF和△GCF，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ADF=∠GCF=90°}&{\;}\\{DF=CF}&{\;}\\{∠AFD=∠GFC}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ADF≌△GCF（ASA），
∴AD=CG，∠DAF=∠G，
∵EG=EC+CG，AE=AD+CE，
∴EG=AE，
∴∠FAE=∠G，
∴∠FAE=∠DAF，
即AF平分∠DAE．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)；熟練掌握正方形的性質(zhì)，證明三角形全等是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．