Question

如圖1，兩個(gè)不全等的四邊形ABCD、四邊形CGFE是正方形，連接BG，DE．交DC于H，交CG于K
（1）觀察圖形，①猜想BG與DE之間長(zhǎng)度關(guān)系；②猜想BG與DE所在直線的位置關(guān)系，并證明你的猜想．
直接回答：連接四邊形DBEG四邊中點(diǎn)所得四邊形是________形
（2）如圖2，將原題中正方形改為菱形，且∠BCD=∠ECG，則（1）中的①、②的結(jié)論是否成立？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說明理由．
直接回答：連接四邊形DBEG四邊中點(diǎn)所得四邊形是________形
（3）如圖3，將原題中正方形改為矩形，且BC=mCG、CD=mCE，則（1）中的①、②結(jié)論是否成立？不要證明；
直接回答：連接四邊形DBEG四邊中點(diǎn)所得四邊形是________形．

Answer 1

解：（1）①BG與DE之間長(zhǎng)度關(guān)系是BG=DE，②BG與DE所在直線的位置關(guān)系是BG⊥DE，
證明：∵正方形ABCD、EFGC，
∴BC=DC，CE=CG，∠BCD=∠GCE=90°，
∴∠BCG=∠ECD，
∴△BCG≌△DCE，
∴BG=DE，∠GBC=∠CDE，
∵∠GBC+∠BHC=90°，
∴∠CDE+∠DEG=90°，
∴∠DOH=180°-90°=90°，
∴BG⊥DE．
故答案為：正方．

（2）①成立，②不成立，
證明：∵四邊形ABCD、EFGC是菱形，
∴BC=CD，CG=CE，∠BCD=∠GCE，
∴∠BCG=∠DCE，
∴△BCG≌△DCE，
∴BG=DE，∠CED=∠CGB，
∵∠BOE=∠CGB+∠OMG=∠CED+∠CME=180°-∠ECG，
又∵∠ECG不一定是直角，
∴∠BOE不一定是直角，
即BG和DE不一定垂直，
∴①成立，②不成立；
故答案為：菱．

（3）答：①不成立，②成立，
故答案：矩．
分析：（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)得到BC=DC，CE=CG，∠BCD=∠GCE=90°，推出∠BCG=∠ECD，根據(jù)SAS證△BCG≌△DCE，得到BG=DE，∠GBC=∠CDE，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出∠DOH即可；
（2）證△BCG≌△DCE，推出BG=DE，∠CED=∠CGB，即可推出答案；
（3）根據(jù)三角形的中位線定理證出是平行四邊形，根據(jù)對(duì)角線垂直證出一個(gè)角是直角，即可得出答案．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查對(duì)三角形的中位線定理，正方形的性質(zhì)和判定，矩形的性質(zhì)和判定，平行四邊形的判定，全等三角形的性質(zhì)和判定，三角形的內(nèi)角和定理，垂直的定義，菱形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握，能綜合運(yùn)用這些性質(zhì)進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵．