Question

15．如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AB是直徑，∠CAB=30°，BC=1，∠ACB的平分線交⊙O于點D，交AB于點E．
（1）求AC，AD的長．
（2）廷長AB至點P，連接PC，當(dāng)BP等于多少時，PC與⊙O相切？為什么？

Answer 1

分析 （1）連接BD，在Rt△ABC中，可求得AB、AC，又可知△ABD為等腰直角三角形，可求得AD；
（2）連接OC，可先證明△OBC為等邊三角形，當(dāng)PC為切線時，可求得BP=BC，可得出結(jié)論．

解答 解：
（1）如圖1，連接BD，

∵AB是直徑，
∴∠ACB=∠ADB=90°，
在Rt△ABC中，
∵∠CAB=30°，BC=1，
∴AB=2，
∴AC=$\sqrt{A{B}^{2}-B{C}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}-{1}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
∵CD平分∠ACB，
∴△ABD為等腰直角三角形，
∴AD=BD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AB=$\sqrt{2}$；
（2）如圖2，連接OC，

∵∠CAB=30°，
∴∠COB=60°，
∴△OBC為等邊三角形，
當(dāng)PC為⊙O的切線時，則∠OCP=90°，
∴∠BCP=∠BPC=30°，
∴PB=BC=1，
即當(dāng)PB=1時，PC與⊙O相切．

點評 本題主要考查切線判定和性質(zhì)及解直角三角形，掌握切線的判定方法是解題的關(guān)鍵，即有切點時連接圓心和切點，然后證明垂直，沒有切點時，過圓心作垂直，證明圓心到直線的距離等于半徑．