Question

如圖，△ABC和△CDE均為等腰直角三角形，點(diǎn)B，C，D在一條直線上，點(diǎn)M是AE的中點(diǎn)，下列結(jié)論：①AC²+CE²=AE²；②S_△ABC+S_△CDE≥S_△ACE；③BM⊥DM；④BM=DM．正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（　�。�

• A、1個(gè)
• B、2個(gè)
• C、3個(gè)
• D、4個(gè)

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),勾股定理

專(zhuān)題：

分析：②由三角形的面積公式、梯形的面積公式及不等式的基本性質(zhì)a²+b²≥2ab（a=b時(shí)取等號(hào)）解答；
③過(guò)點(diǎn)M作MN⊥BD，垂足為N，則MN∥DE∥AB，根據(jù)平行線分線段成比例定理得出N為BD中點(diǎn)，由線段垂直平分線的性質(zhì)得到BM=DM，再根據(jù)梯形中位線、等腰直角三角形的性質(zhì)得出MN=

1

2

BD，則∠BMD=90°，判斷③正確；
④通過(guò)作輔助線MN，構(gòu)建直角梯形的中位線，根據(jù)梯形的中位線定理及等腰直角三角形的判定定理解答．

解答：解：如圖，

①作EF⊥AB，
則AF=a-b，EF=a+b，
∴AE²=AF²+EF²=（a+b）²+（a-b）²=2a²+2b²，
∵AC²=2a²，CE²=2b²，
∴AC²+CE²=AE²；故①正確；
②∵S_△ABC=

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2

a²，S_△CDE=

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2

b²，S_梯形ABDE=

1

2

（a+b）²，
∴S_△ACE=S_梯形ABDE-S_△ABC-S_△CDE=ab，
S_△ABC+S_△CDE=

1

2

（a²+b²）≥ab（a=b時(shí)取等號(hào)），
∴S_△ABC+S_△CDE≥S_△ACE；故②正確；
③過(guò)點(diǎn)M作MN垂直于BD，垂足為N．
∵點(diǎn)M是AE的中點(diǎn)，
則MN為梯形中位線，
∴MN=

1

2

（AB+ED）=

1

2

（BC+CD），
∴∠BMD=90°，即BM⊥DM；故③正確．
④過(guò)點(diǎn)M作MN垂直于BD，垂足為N．
∵點(diǎn)M是AE的中點(diǎn)，
則MN為梯形中位線，
∴N為中點(diǎn)，
∴△BMD為等腰三角形，
∴BM=DM；故④正確；
故選 D．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了勾股定理的運(yùn)用，考查了梯形中位線性質(zhì)，考查了等腰三角形底邊三線合一的性質(zhì)．