Question

9．已知二次函數(shù)y=x²-kx+k-1（k＞2）．
（1）求證：拋物線y=x²-kx+k-1（k＞2）與x軸必有兩個交點；
（2）拋物線與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左側(cè)），與y軸交于點C，若tan∠OAC=3，求拋物線的表達式．

Answer 1

分析 （1）先計算判別式的值得到△=（k-2）²，利用k＞2，可判斷△＞0，于是根據(jù)△=b²-4ac＞0時，拋物線與x軸有2個交點即可得到結(jié)論；
（2）根據(jù)拋物線與x軸的交點問題，解方程x²-kx+k-1=0得x=k-1或x=1，利用k＞2，點A在點B的左側(cè)得到A（1，0），B（k-1，0），再表示出C（0，k-1），然后根據(jù)正切的定義得到$\frac{k-1}{1}$=3，再解方程求出k即可得到拋物線的表達式．

解答 （1）證明：∵△=（-k）²-4×1×（k-1）=（k-2）²，
又∵k＞2，
∴（k-2）²＞0，即△＞0．
∴拋物線y=x²-kx+k-1與x軸必有兩個交點；
（2）解：∵拋物線y=x²-kx+k-1與x軸交于A、B兩點，
∴令y=0，有x²-kx+k-1=0，解得x=k-1或x=1，
∵k＞2，點A在點B的左側(cè)，
∴A（1，0），B（k-1，0），
∵拋物線與y軸交于點C，
∴C（0，k-1），
在Rt△AOC中，∵tan∠OAC=$\frac{OC}{OA}$=3，
∴$\frac{k-1}{1}$=3，解得k=4．
∴拋物線的表達式為y=x²-4x+3．

點評 本題考查了拋物線與x軸的交點：把求二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）與x軸的交點坐標(biāo)問題轉(zhuǎn)化為解關(guān)于x的一元二次方程；△=b²-4ac決定拋物線與x軸的交點個數(shù)：△=b²-4ac＞0時，拋物線與x軸有2個交點；△=b²-4ac=0時，拋物線與x軸有1個交點；△=b²-4ac＜0時，拋物線與x軸沒有交點．也考查了三角函數(shù)的定義．