Question

如圖，已知拋物線y=-x²+4x（x≥0）與拋物線y=

1

3

x²相交于點O和點A，現(xiàn)有一條動直線x=t（0＜t＜3）與它們分別交于點B和點C．
（1）求點A的坐標(biāo)；
（2）求出四邊形OCAB的面積S與t的函數(shù)關(guān)系式，當(dāng)S有最大值時t的值是多少？
（3）當(dāng)直線運動到何位置即t為何值時，四邊形OCAB為梯形？

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）解拋物線的解析式組成的方程組的解即可求得．
（2）根據(jù)S_{四邊形ABOC}=S_△OBC+S_△ABC即可求得．
（3）有兩種情況①AB∥OC，②OB∥AC，分別求得它們的解析式，如果兩直線平行，則直線的斜率相等，即可求得t的值．

解答：解：（1）解

y=-x2+4x y= 1 3 x2

 得

x=3 y=3

 或

x=0 y=0

，
∴A點的坐標(biāo)為（3，3）；

（2）如圖所示：作AE∥y軸，直線x=t與拋物線y=-x²+4x的交點B（t，-t²+4t），與拋物線y=

1

3

x²的交點C（t，

1

3

t²）；
∵A（3，3），
∴S_{四邊形ABOC}=S_△OBC+S_△ABC=

1

2

BC•OD+

1

2

BC•DE=

1

2

（-t²-4t-

1

3

t²）×t+

1

2

（-t²-4t-

1

3

t²）×（3-t）
整理得；S_{四邊形ABOC}=-2t²+6t=-2（t-

3

2

）²+

9

2

；
∴當(dāng)t=

3

2

時，S_{四邊形ABOC}有最大值=

9

2

；

（3）有兩種情況，
①當(dāng)AB∥OC時，∵A（3，3），B（t，-t²+4t），C（t，

1

3

t²）；
∴直線AB的解析式為：y=（1-t）x+3t，直線OC的解析式為：y=

1

3

tx²，
∴1-t=

1

3

t，
解得t=

3

4

；
②當(dāng)OB∥AC時，
∵A（3，3），B（t，-t²+4t），C（t，

1

3

t²）；
∴直線OB的解析式為：y=（-t+4）x，
直線AC的解析式為：y=

1

3

（t+3）x-t，
∴-t+4=

1

3

（t+3），
解得t=

9

4

；
∴當(dāng)t=

3

4

或t=

9

4

時，四邊形OCAB為梯形．

點評：本題考查了兩個拋物線的交點的求法，四邊形面積的求法，以及梯形的判定方法，構(gòu)建三角形是求四邊形面積的關(guān)鍵．