Question

【題目】如圖，已知拋物線與x軸負半軸相交于點A，與y軸正半軸相交于點B，，直線l過A、B兩點，點D為線段AB上一動點，過點D作軸于點C，交拋物線于點E．

（1）求拋物線的解析式；

（2）若拋物線與x軸正半軸交于點F，設(shè)點D的橫坐標(biāo)為x，四邊形FAEB的面積為S，請寫出S與x的函數(shù)關(guān)系式，并判斷S是否存在最大值，如果存在，求出這個最大值；并寫出此時點E的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由．

（3）連接BE，是否存在點D，使得和相似？若存在，求出點D的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）與x的函數(shù)關(guān)系式為，S存在最大值，最大值為18，此時點E的坐標(biāo)為．（3）存在點D，使得和相似，此時點D的坐標(biāo)為或．

【解析】

利用二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征可得出點A、B的坐標(biāo)，結(jié)合即可得出關(guān)于a的一元一次方程，解之即可得出結(jié)論；

由點A、B的坐標(biāo)可得出直線AB的解析式待定系數(shù)法，由點D的橫坐標(biāo)可得出點D、E的坐標(biāo)，進而可得出DE的長度，利用三角形的面積公式結(jié)合即可得出S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可解決最值問題；

由、，利用相似三角形的判定定理可得出：若要和相似，只需或，設(shè)點D的坐標(biāo)為，則點E的坐標(biāo)為，進而可得出DE、BD的長度當(dāng)時，利用等腰直角三角形的性質(zhì)可得出，進而可得出關(guān)于m的一元二次方程，解之取其非零值即可得出結(jié)論；當(dāng)時，由點B的縱坐標(biāo)可得出點E的縱坐標(biāo)為4，結(jié)合點E的坐標(biāo)即可得出關(guān)于m的一元二次方程，解之取其非零值即可得出結(jié)論綜上即可得出結(jié)論．

當(dāng)時，有，

解得：，，

點A的坐標(biāo)為．

當(dāng)時，，

點B的坐標(biāo)為．

，

，解得：，

拋物線的解析式為．

點A的坐標(biāo)為，點B的坐標(biāo)為，

直線AB的解析式為．

點D的橫坐標(biāo)為x，則點D的坐標(biāo)為，點E的坐標(biāo)為，

如圖．

點F的坐標(biāo)為，點A的坐標(biāo)為，點B的坐標(biāo)為，

，，，

．

，

當(dāng)時，S取最大值，最大值為18，此時點E的坐標(biāo)為，

與x的函數(shù)關(guān)系式為，S存在最大值，最大值為18，此時點E的坐標(biāo)為．

，，

若要和相似，只需或如圖．

設(shè)點D的坐標(biāo)為，則點E的坐標(biāo)為，

，

當(dāng)時，，

，

，

為等腰直角三角形．

，即，

解得：舍去，，

點D的坐標(biāo)為；

當(dāng)時，點E的縱坐標(biāo)為4，

，

解得：，舍去，

點D的坐標(biāo)為．

綜上所述：存在點D，使得和相似，此時點D的坐標(biāo)為或．

故答案為：（1）；（2）與x的函數(shù)關(guān)系式為，S存在最大值，最大值為18，此時點E的坐標(biāo)為．（3）存在點D，使得和相似，此時點D的坐標(biāo)為或．