Question

18．如圖1，將△ABC放在每個小正方形的邊長為1的網(wǎng)格中，點A、B、C均落在格點上，點M、N分別為邊AB、AC上的動點，且MN∥BC，將△AMN沿MN翻折得到△A′MN，設(shè)△A′MN與四邊形BCNM重疊部分的面積為S．
（1）△ABC的面積等于10；
（2）當(dāng)S最大時，請在圖2所示的網(wǎng)格中，用無刻度的直尺畫出直線MN，并簡要說明點M和點N是如何找到的（不要求證明）如圖3中，過點A作EF∥BC，取AE=AF=2，在BC上取BG=CH=1，連接EG，F(xiàn)H分別交AB、AC于M、N．
圖中M、N就是所求的點．．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)三角形面積公式就是即可．
（2）分兩種情形討論）①如圖1中，當(dāng)0＜MN≤$\frac{5}{2}$時，△A′MN與四邊形BCNM重疊部分為△MNA′，設(shè)MN=x，AD與AH交于點D，②如圖2中，當(dāng)x＞$\frac{5}{2}$時，A′H=2AD-AH=$\frac{8}{5}$x-4，分別求出S的最大值，最后得出AM：BM=AN：CN=2，由此即可解決問題．

解答 解：（1）如圖1中，作AH⊥BC于H，
則S_△ABC=$\frac{1}{2}$•BC•AH=$\frac{1}{2}$×5×4=10，
故答案為10．

（2）①如圖1中，當(dāng)0＜MN≤$\frac{5}{2}$時，△A′MN與四邊形BCNM重疊部分為△MNA′，設(shè)MN=x，AD與AH交于點D，
∵MN∥BC，
∴△AMN∽△ABC，
∴$\frac{MN}{BC}$=$\frac{AD}{AH}$，
∴AD=$\frac{4}{5}$x，
∴S=$\frac{1}{2}$×x×$\frac{4}{5}$x=$\frac{2}{5}$x²，
∴x=$\frac{5}{2}$時，S最大值=$\frac{5}{2}$．
②如圖2中，當(dāng)x＞$\frac{5}{2}$時，A′H=2AD-AH=$\frac{8}{5}$x-4，
∵EF∥MN，
∴$\frac{EF}{MN}$=$\frac{A′H}{A′D}$，
∴EF=2x-5，
∴S=S_△A′MN-S_△A′EF=-$\frac{6}{5}$（x-$\frac{10}{3}$）²+$\frac{10}{3}$，
∴當(dāng)x=$\frac{10}{3}$時，S最大值為$\frac{10}{3}$，
∵$\frac{10}{3}$＞$\frac{5}{2}$，
∴S最大值為$\frac{10}{3}$，此時AD=$\frac{8}{3}$=$\frac{2}{3}$AH，∴$\frac{AM}{BM}$=$\frac{AN}{NC}$=2，
作法：如圖3中，過點A作EF∥BC，取AE=AF=2，在BC上取BG=CH=1，連接EG，F(xiàn)H分別交AB、AC于M、N．
圖中M、N就是所求的點．
故答案為：如圖3中，過點A作EF∥BC，取AE=AF=2，在BC上取BG=CH=1，連接EG，F(xiàn)H分別交AB、AC于M、N．
圖中M、N就是所求的點．

點評 本題考查作圖-應(yīng)用與設(shè)計、翻折變換、三角形的面積、二次函數(shù)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會分類討論，學(xué)會構(gòu)建二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)解決最值問題，屬于中考常考題型．