Question

如圖，在△ABC中，AM是高，D，G分別在AB，AC上，E，F(xiàn)在BC上，四邊形DEFG是矩形，AM=6，BC=12，若設(shè)矩形的邊GF=x，DG=y．
（1）請(qǐng)你寫(xiě)出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并注明x的取值范圍；
（2）當(dāng)x取何值時(shí)，矩形DEFG變?yōu)檎�方形？并求出此時(shí)S_△ADG：S_△ABC的值．

Answer 1

解：（1）根據(jù)題意得AN=AM-MN=6-x，
∵四邊形DEFG是矩形，
∴DG∥BC，
∴△ADG∽△ABC，
∴DG：BC=AN：AM，即y：12=（x-6）：6，
∴y=2x-12（0＜x＜6）；

（2）∵當(dāng)DG=GF時(shí)，四邊形DEFG是正方形，
∴y=x，即2x-12=x，
∴x=4，
∴y=4，
∵△ADG∽△ABC，
∴S_△ADG：S_△ABC=DG²：BC²=16：144=1：9．
分析：（1）先用x表示AN=6-x，易得△ADG∽△ABC，則DG：BC=AN：AM，于是可得到y(tǒng)=2x-12（0＜x＜6）；
（2）由于四邊形DEFG是矩形，則當(dāng)DG=GF時(shí)，四邊形DEFG是正方形，所以y=x，即2x-12=x，可解得x=y=4，然后根據(jù)三角形相似的性質(zhì)得到S_△ADG：S_△ABC=DG²：BC²=16：144=1：9．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)：平行于三角形一邊的直線與其他兩邊所截的三角形與原三角形相似；相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比等于相等，都等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方．也考查了矩形的性質(zhì)以及正方形的判定方法．